سوالات ریاضی

[امین]

توی تمرین ریاضی یازدهم تجربی، یه سوال هست که می‌پرسه آیا مستطیلی که محیطش فلان و مساحتش فلان باشه وجود داره یا خیر (و در صورت وجود اضلاعشو پیدا کنید و ...)

خب من سوالم اینه اصلاً مگه ممکنه مستطیلی وجود نداشته باشه؟ هر محیط و مساحتی که بپرسن همیشه مستطیل وجود داره :‌))

اگه مثلاً اضلاعشو a و b فرض کنیم، محیط رو 2p و مساحت رو هم A، باید چنین معادله‌ای x2 - (a+b)x + ab = 0 جواب داشته باشه؛ یعنی a2+b2+2ab-4ab باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر بشه، که این یعنی مجذورِ تفاضلِ اضلاع مستطیل باید بزرگ‌تر مساوی صفر بشه که همیشه هست! پس مستطیلی یافت نمیشه اصلاً که محیط و مساحتش جور نباشه :‌))

همین‌طوره یا من یه جا دارم اشتباه می‌کنم؟

 

[Dexter Morgan]

توی تمرین ریاضی یازدهم تجربی، یه سوال هست که می‌پرسه آیا مستطیلی که محیطش فلان و مساحتش فلان باشه وجود داره یا خیر (و در صورت وجود اضلاعشو پیدا کنید و ...)

خب من سوالم اینه اصلاً مگه ممکنه مستطیلی وجود نداشته باشه؟ هر محیط و مساحتی که بپرسن همیشه مستطیل وجود داره :‌))

اگه مثلاً اضلاعشو a و b فرض کنیم، محیط رو 2p و مساحت رو هم A، باید چنین معادله‌ای x2 - (a+b)x + ab = 0 جواب داشته باشه؛ یعنی a2+b2+2ab-4ab باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر بشه، که این یعنی مجذورِ تفاضلِ اضلاع مستطیل باید بزرگ‌تر مساوی صفر بشه که همیشه هست! پس مستطیلی یافت نمیشه اصلاً که محیط و مساحتش جور نباشه :‌))

همین‌طوره یا من یه جا دارم اشتباه می‌کنم؟

سلام
طبق این، اگه محیط و مساحتو یجوری بده که نصف محیط(X) به توان دو منهای 2تا مساحت کمتر از صفر بشه اون وقت A و B ای حقیقی وجود نخواهد داشت
البته استدلال شماهم درسته به تناقض خوردیم...

 

[امین]

سلام
طبق این، اگه محیط و مساحتو یجوری بده که نصف محیط(X) به توان دو منهای 2تا مساحت کمتر از صفر بشه اون وقت A و B ای حقیقی وجود نخواهد داشت
البته استدلال شماهم درسته به تناقض خوردیم...

خیلی درگیرشم :‌)) با اینکه ته ذهنم می‌دونم استدلالم یه ایرادی داره ولی پیداش نمی‌کنم هرچی فکر می‌کنم.
آره مثلاً مستطیلی که محیطش ۲ و مساحتش صد میلیارد باشه منطقی نیستش و وجود هم نداره، معادله‌ش هم بنویسی دلتا منفی میشه، اما چرا در حالت کلی محدودیتی حاصل نمی‌کنه؟ دنبال اون محدودیته می‌گردم.

 

[امین]

توی تمرین ریاضی یازدهم تجربی، یه سوال هست که می‌پرسه آیا مستطیلی که محیطش فلان و مساحتش فلان باشه وجود داره یا خیر (و در صورت وجود اضلاعشو پیدا کنید و ...)

خب من سوالم اینه اصلاً مگه ممکنه مستطیلی وجود نداشته باشه؟ هر محیط و مساحتی که بپرسن همیشه مستطیل وجود داره :‌))

اگه مثلاً اضلاعشو a و b فرض کنیم، محیط رو 2p و مساحت رو هم A، باید چنین معادله‌ای x2 - (a+b)x + ab = 0 جواب داشته باشه؛ یعنی a2+b2+2ab-4ab باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر بشه، که این یعنی مجذورِ تفاضلِ اضلاع مستطیل باید بزرگ‌تر مساوی صفر بشه که همیشه هست! پس مستطیلی یافت نمیشه اصلاً که محیط و مساحتش جور نباشه :‌))

همین‌طوره یا من یه جا دارم اشتباه می‌کنم؟

سلام
طبق این، اگه محیط و مساحتو یجوری بده که نصف محیط(X) به توان دو منهای 2تا مساحت کمتر از صفر بشه اون وقت A و B ای حقیقی وجود نخواهد داشت
البته استدلال شماهم درسته به تناقض خوردیم...

بعد از کلی فکر کردن بالأخره فهمیدم ایرادم کجاست!

نکته‌ی اول اینه که من در همون ابتدا فرض کردم اصلاً چنین مستطیلی وجود خارجی داره و یک a و b ای داره؛ در حالی که در حالتی که معادله بی‌جواب می‌مونه کلاً ریشه‌ی حقیقی براش تعریف‌نشده‌ست.

ثانیاً شما مستطیلی درنظر بگیرید که محیطش بشه ۶ و مساحتش بشه منفی ده! می‌دونیم که چنین چیزی در دستگاه اعداد طبیعی شدنی نیست، اما دلتای معادله‌ی x2-3x-10=0 مثبته و ریشه‌هاش هم ۵ و ۲- هستن! پس این که به دلتا تکیه کنیم لزوماً راه صحیحی برای نتیجه‌گیری نیست و همین روشی که مجذور نصف محیط باید حتماً از ۲ برابر مساحت بزرگ‌تر باشه درسته. اگرچه تو مثالِ خودم هم مجذور نصف محیط میشه ۹ و از ۲۰- بزرگ‌تره، ولی خب :‌)) دیگه وارد بحثش نشیم :‌))

 

[Dexter Morgan]

بعد از کلی فکر کردن بالأخره فهمیدم ایرادم کجاست!

نکته‌ی اول اینه که من در همون ابتدا فرض کردم اصلاً چنین مستطیلی وجود خارجی داره و یک a و b ای داره؛ در حالی که در حالتی که معادله بی‌جواب می‌مونه کلاً ریشه‌ی حقیقی براش تعریف‌نشده‌ست.

ثانیاً شما مستطیلی درنظر بگیرید که محیطش بشه ۶ و مساحتش بشه منفی ده! می‌دونیم که چنین چیزی در دستگاه اعداد طبیعی شدنی نیست، اما دلتای معادله‌ی x2-3x-10=0 مثبته و ریشه‌هاش هم ۵ و ۲- هستن! پس این که به دلتا تکیه کنیم لزوماً راه صحیحی برای نتیجه‌گیری نیست و همین روشی که مجذور نصف محیط باید حتماً از ۲ برابر مساحت بزرگ‌تر باشه درسته. اگرچه تو مثالِ خودم هم مجذور نصف محیط میشه ۹ و از ۲۰- بزرگ‌تره، ولی خب :‌)) دیگه وارد بحثش نشیم :‌))

منم کمی فکر کردم به چیز جالبی رسیدم
اینکه ممکنه اون شرط x^2-2y>0 برقرار باشه، ولی a وb ما میتونن عدد مختلط باشن یعنی مستطیل وجود نداره :/ تو این حالت البته

 

[Dexter Morgan]

سلام
بریم برای یه چالش دیگه!
دو تا تابع داریم: e^x و x^(10000000000000000)
و شما جای ایکس میتونید هر عددی بزارید(اعداد حقیقی البته)
حالا وقتی شما تک تک اعدادو به ترتیب به تابع ها میدید ، کدوم تابع کم کم اعداد بزرگتری نسبت به اون یکی میدن؟؟؟

 

[7T]

سلام
بریم برای یه چالش دیگه!
دو تا تابع داریم: e^x و x^(10000000000000000)
و شما جای ایکس میتونید هر عددی بزارید(اعداد حقیقی البته)
حالا وقتی شما تک تک اعدادو به ترتیب به تابع ها میدید ، کدوم تابع کم کم اعداد بزرگتری نسبت به اون یکی میدن؟؟؟

e^x

 

[Dexter Morgan]

e^x

استاد شما که برنز ریاضی دارید نگید لطفا بزارید برای ما جوجه نوب ها چالش باشه

 

[7T]

استاد شما که برنز ریاضی دارید نگید لطفا بزارید برای ما جوجه نوب ها چالش باشه

استاد کیلو چنده بابا منم شانسی گفتم اخه اون یکی عددش خیلی گنده بود حدس زدم که واسه گول زدنه این یکیو انتخاب کردم XD

 

[امین]

ممکنه روش استدلالم نادرست باشه (که نیست به نظرم) :

من ابتدا دو تابع فرض می‌کنم:
ایکس به نمای عدد ثابت a و ای به نمای ایکس.
می‌خوام بررسی کنم به ازای ایکس‌های بسیار بزرگ، چه رابطه‌ای بین این دو برقراره.

این‌جا روش کارم رو نوشتم.
دو عبارت رو کنار همدیگه قرار دادم و طرفین رو به توان یک ایکسُم (که ایکس مخالف صفره) رسوندم. طرف چپم شد e و طرف راستم ایکس به نمای a/x باقی موند.

به بررسی تابع ایکس به نمای a/x پرداختم:
مشتقش در e صفره و در این نقطه ماکزیمم مطلق داره؛
حدش هم در بی‌نهایت مساوی ۱ عه.
یعنی در بی‌نهایت، عدد e سرجاش هست و تغییر نمی‌کنه اما طرف راست داره به یک می‌رسه.

می‌تونم این‌طور ادعا کنم که ابتدا ممکنه x^a بزرگ‌تر از e^x باشه، ولی بالاخره در نهایت ازش عقب میفته.

حالا اگر همین مسیر رو برگردیم و طرفین رو به نمای ایکس برسونیم می‌تونیم بگیم در بی‌نهایت y2 از y1 بزرگ‌تر خواهد شد.

+ طبق نمودار، می‌بینیم به ازای a=1 همیشه مقدار f از e کمتره و بنابراین x به توان ۱ همیشه از e^x کوچیک‌تره (که هست اگر نموداراشونو تصور کنین!) و این یعنی اصلاً واسه اینکه x^a در جایی از e^x قادر باشه سبقت بگیره لازم و ضروریه a بیشتر از e باشه که در صورت سوال هم همین‌طور بود.

 

[Dexter Morgan]

ممکنه روش استدلالم نادرست باشه (که نیست به نظرم) :

من ابتدا دو تابع فرض می‌کنم:
ایکس به نمای عدد ثابت a و ای به نمای ایکس.
می‌خوام بررسی کنم به ازای ایکس‌های بسیار بزرگ، چه رابطه‌ای بین این دو برقراره.

این‌جا روش کارم رو نوشتم.
دو عبارت رو کنار همدیگه قرار دادم و طرفین رو به توان یک ایکسُم (که ایکس مخالف صفره) رسوندم. طرف چپم شد e و طرف راستم ایکس به نمای a/x باقی موند.

به بررسی تابع ایکس به نمای a/x پرداختم:
مشتقش در e صفره و در این نقطه ماکزیمم مطلق داره؛
حدش هم در بی‌نهایت مساوی ۱ عه.
یعنی در بی‌نهایت، عدد e سرجاش هست و تغییر نمی‌کنه اما طرف راست داره به یک می‌رسه.

می‌تونم این‌طور ادعا کنم که ابتدا ممکنه x^a بزرگ‌تر از e^x باشه، ولی بالاخره در نهایت ازش عقب میفته.

حالا اگر همین مسیر رو برگردیم و طرفین رو به نمای ایکس برسونیم می‌تونیم بگیم در بی‌نهایت y2 از y1 بزرگ‌تر خواهد شد.

+ طبق نمودار، می‌بینیم به ازای a=1 همیشه مقدار f از e کمتره و بنابراین x به توان ۱ همیشه از e^x کوچیک‌تره (که هست اگر نموداراشونو تصور کنین!) و این یعنی اصلاً واسه اینکه x^a در جایی از e^x قادر باشه سبقت بگیره لازم و ضروریه a بیشتر از e باشه که در صورت سوال هم همین‌طور بود.

خب شما باید لیمیت ایکس به توان آ بر روی ای به توان ایکس (ایکس به سمت بینهایت) رو حساب کنید. که اگر از قاعده هوپیتال استفاده کنید چندبار متوجه میشید که این حد برابر صفره! یعنی رشد این تابع نمایی از هر چند جمله ای بیشتره و مهم هم نیست که آ چقدر باشه.

 

[امین]

خب شما باید لیمیت ایکس به توان آ بر روی ای به توان ایکس (ایکس به سمت بینهایت) رو حساب کنید. که اگر از قاعده هوپیتال استفاده کنید چندبار متوجه میشید که این حد برابر صفره! یعنی رشد این تابع نمایی از هر چند جمله ای بیشتره و مهم هم نیست که آ چقدر باشه.

این روش هم درسته.

 

[Dexter Morgan]

سلام. ایا این حرفم درسته؟
اگه بی نهایت بار از ایکس اف بگیریم(اف یه تابع هست) حاصل میشه یک ایکس صفری که برای اون ایکس صفر داریم افِ ایکس صفر برابر خود ایکس صفره

 

[Dexter Morgan]

سلام. ایا این حرفم درسته؟
اگه بی نهایت بار از ایکس اف بگیریم(اف یه تابع هست) حاصل میشه یک ایکس صفری که برای اون ایکس صفر داریم افِ ایکس صفر برابر خود ایکس صفره

البته خب قطعا بعضی توابع از این پیرویی نمیکنن.
سوال جدید اینه که کدوم توابع از این پیروی میکنن؟

 

[امین]

البته خب قطعا بعضی توابع از این پیرویی نمیکنن.
سوال جدید اینه که کدوم توابع از این پیروی میکنن؟

سوالو درست متوجه نشدم.

مثلاً تابع درجه ۲ رو درنظر بگیریم، بی‌نهایت بار در خودش قرار بدیم میشه ایکس به توانِ (۲ به نمای n) که اگه n بره به بی‌نهایت، حاصل کلاً میشه ایکس به توان بی‌نهایت. ایکس صفر یا عدد ثابتی درنمیاد ازش. و بدیهی هم هست اگه دوباره ازش اف بگیریم به همون ایکس به توان بی‌نهایت می‌رسیم.

یا تابع هموگرافیک یک ایکسُم اگر در خودش قرار بگیره، یک در میون ایکس و یک ایکسُم میشه که در نهایت فرم کلیش در بی‌نهایت میشه یک ایکسُم به توانِ (منفی یک به توان n+1) که اینم فکر کنم چون متناوبه در بی‌نهایت حد نداره.

ولی مثلاً توابع ثابت یا همانی بی‌شمار بار هم در خودشون قرار بگیرن تغییری نمی‌کنن.

 

[Dexter Morgan]

سوالو درست متوجه نشدم.

مثلاً تابع درجه ۲ رو درنظر بگیریم، بی‌نهایت بار در خودش قرار بدیم میشه ایکس به توانِ (۲ به نمای n) که اگه n بره به بی‌نهایت، حاصل کلاً میشه ایکس به توان بی‌نهایت. ایکس صفر یا عدد ثابتی درنمیاد ازش. و بدیهی هم هست اگه دوباره ازش اف بگیریم به همون ایکس به توان بی‌نهایت می‌رسیم.

یا تابع هموگرافیک یک ایکسُم اگر در خودش قرار بگیره، یک در میون ایکس و یک ایکسُم میشه که در نهایت فرم کلیش در بی‌نهایت میشه یک ایکسُم به توانِ (منفی یک به توان n+1) که اینم فکر کنم چون متناوبه در بی‌نهایت حد نداره.

ولی مثلاً توابع ثابت یا همانی بی‌شمار بار هم در خودشون قرار بگیرن تغییری نمی‌کنن.

اره خب این توابعی که گفتید حدی ندارن
ولی مثلا تابعی مثل 4X/1+(X/M) یه حدی داره

 

[MarMari]

متاسفم که سوالم شاید در برابر سوالاتی که می‌پرسید آسون باشه
دو تا نمودار تابع هست که میخوام رسم کنم منتها نمیدونم مقدار درون جزء صحیح رو که رسم کردم بعدش کدوم سمتی باید عمود کنم
یکی تابع اف ایکس مساوی با جزء صحیح رادیکال ایکس
y=[√x]
یکی هم تابع اف ایکس مساوی با جزء صحیح یک ایکسم
y=[1/x]

 

[امین]

متاسفم که سوالم شاید در برابر سوالاتی که می‌پرسید آسون باشه
دو تا نمودار تابع هست که میخوام رسم کنم منتها نمیدونم مقدار درون جزء صحیح رو که رسم کردم بعدش کدوم سمتی باید عمود کنم
یکی تابع اف ایکس مساوی با جزء صحیح رادیکال ایکس
y=[√x]
یکی هم تابع اف ایکس مساوی با جزء صحیح یک ایکسم
y=[1/x]

من معمولاً رسم بر حسب بازه‌بندی رو ترجیح میدم به رسم بر حسب عمود کردن از نمودار.
این‌جا و این‌جا برات هر دو رو در یک بازه‌ی محدودِ ۳ تایی رسم کردم.
کافیه حین بازه‌بندی دقت داشته باشی.

 

[امیرحسین]

متاسفم که سوالم شاید در برابر سوالاتی که می‌پرسید آسون باشه
دو تا نمودار تابع هست که میخوام رسم کنم منتها نمیدونم مقدار درون جزء صحیح رو که رسم کردم بعدش کدوم سمتی باید عمود کنم
یکی تابع اف ایکس مساوی با جزء صحیح رادیکال ایکس
y=[√x]
یکی هم تابع اف ایکس مساوی با جزء صحیح یک ایکسم
y=[1/x]

من نمی‌دونم روش عمود کردن چطوریه و امین توضیحات لازم رو بهت داد.
فقط چیزی که من به ذهنم می‌رسه بهت بگم که دید بهتری بدست بیاری. این هست که در نظر داشته باشی در تابع جزء صحیح مقدار x می‌تونه هر مقدار غیر صحیح را به خودش بگیره و مقدار y فقط اعداد صحیح می‌تونه باشه.
یه تصور که شاید کمکت کنه اینطوری هست که بازه‌های محور y را به صورت جعبه در نظر بگیری که وقتی مقداری از تابع درونشون قرار می‌گیره کل تابع فرو می‌ریزه.
امیدورم گیجت نکرده باشم

 

[MHDgh]

سلام
فرض کنید d(n) تعداد کلمات n حرفی با حروف a,b,c باشد که در انها هیچ یک از عبارت های ab و ba ظاهر نشده است . رابطه بازگشتی برای d(n) را بیابید
من از روش اصل متمم رفتم
ولی پاسخ نامه با تابع کمکی
روش من این بود
اونایی که با c شروع میشن که میشه d(n_1)
اونایی که با b شروع میشن رو اومدم اونایی که حرف اولشون b هست رو حساب کردم که میشه d(n_1)
بعد اونایی که حرف اولشون b و حرف دومشون a که میشه تعداد کل که همونd(n_1)
منهای حالت‌هایی که با ba شروع میشن
که میشه d(n_2)
برای اونایی که با a شروع میشن هم همین کارو کردم
ولی رابطه بازگشتیم خرابه
و نمیدونم چرا اینطوری در میاد
رابطه بازگشتی درستش اینه
2d(n_1)+d(n_2)
سوال ۴ صفحه ۱۱۹ روش های ترکیبیات
کسی میدونه اشتباه راه حل من چیه ؟