ممکنه روش استدلالم نادرست باشه (که نیست به نظرم) :
من ابتدا دو تابع فرض میکنم:
ایکس به نمای عدد ثابت a و ای به نمای ایکس.
میخوام بررسی کنم به ازای ایکسهای بسیار بزرگ، چه رابطهای بین این دو برقراره.
اینجا روش کارم رو نوشتم.
دو عبارت رو کنار همدیگه قرار دادم و طرفین رو به توان یک ایکسُم (که ایکس مخالف صفره) رسوندم. طرف چپم شد e و طرف راستم ایکس به نمای a/x باقی موند.
به بررسی تابع ایکس به نمای a/x پرداختم:
مشتقش در e صفره و در این نقطه ماکزیمم مطلق داره؛
حدش هم در بینهایت مساوی ۱ عه.
یعنی در بینهایت، عدد e سرجاش هست و تغییر نمیکنه اما طرف راست داره به یک میرسه.
میتونم اینطور ادعا کنم که ابتدا ممکنه x^a بزرگتر از e^x باشه، ولی بالاخره در نهایت ازش عقب میفته.
حالا اگر همین مسیر رو برگردیم و طرفین رو به نمای ایکس برسونیم میتونیم بگیم در بینهایت y2 از y1 بزرگتر خواهد شد.
+ طبق نمودار، میبینیم به ازای a=1 همیشه مقدار f از e کمتره و بنابراین x به توان ۱ همیشه از e^x کوچیکتره (که هست اگر نموداراشونو تصور کنین!) و این یعنی اصلاً واسه اینکه x^a در جایی از e^x قادر باشه سبقت بگیره لازم و ضروریه a بیشتر از e باشه که در صورت سوال هم همینطور بود.
