• اگر سمپادی هستی همین الان عضو شو :
    ثبت نام عضویت

تعادل یک توده گاز کروی

  • شروع کننده موضوع
  • #1

mamalmln

کاربر حرفه‌ای
ارسال‌ها
414
امتیاز
149
نام مرکز سمپاد
شهید بهشتی شهر ری
شهر
تهران
مدال المپیاد
فیزیک
مسئله : یک کره ی به چگالی ثابت ρ را در نظر بگیرید .فرض کنید این کره در تمام نقاط خود تعادل هیدروستاتیک دارد یعنی نیروی گرانشش توسط فشار گازی که کره را می سازد خنثی می شود .معادله ای برای تغییرات فشار در فاصله r از مرکز کره بیابید .

راه حل یک :لایه ای کروی به ضخامت بسیار کم dr در فاصله r در نظر می گیریم .











اکنون معادلات تعادل شعاعی را می نویسیم :
P(r)A(r)-[ P(r)+dp][A(r)+dA]-(GM dm)/r^2 =0
dA=4π(r+dr)^2-4πr^2=8πrdr
dm=ρdV=ρ 4πr^2 dr

-P(r)dA-A(r)dp-(GM ρ4πr^2 dr)/r^2 =0
-P(r)8πrdr-4πr^2 dp-4πρGMdr=0□(→┴(/dr) )
dp/dr=-2P/r-GMρ/r^2
توجه داریم که تمامی جملات را تا مرتبه یکم dr نیاز داریم . M همان جرم محصور تا شعاع r است که اصلا اینجا برایمان مهم نیست .اکنون به حل دوم نگاه کنید

دوم :
عنصرمان را به جای یک کره ی نازک یک مکعب مستطیل و یا حتی یک استوانه می گیریم .فرض می کنیم مساحت این عنصر در راستای عمود بر r برابر A باشد .طول عنصر را dr می گیریم .اکنون همان روابط قبلی را می نویسیم .البته اینجا A ثابت است !







P(r)A-[P(r)+dp]A-(GM dm)/r^2 =0
-Adp-(GM (ρAdr))/r^2 =0
dp/dr=-GMρ/r^2 (?)

چرا جواب ها فرق دارند ؟ و کدام جواب درست است ؟ در همه ی کتاب ها رابطه ی دوم نوشته شده .پس اشکال استدلال اول کجاست ؟
(من شک ندارم که رابطه ی دوم درسته .چون با رابطه ی زیر هم به همین می رسیم که توی همه ی کتاب های مکانیک سیالات هست و معتبره.)
∇ ⃗P+ ρg ⃗=0
-∂p/∂r=GMρ/r^2
مشکل کجاست ؟
و چرا راه اول غلطه؟؟؟
 

sooshans

کاربر فعال
ارسال‌ها
46
امتیاز
224
نام مرکز سمپاد
شهيد بهشتی
شهر
گرگان
سال فارغ التحصیلی
1392
مدال المپیاد
نقره کشوری نجوم
دانشگاه
شریف
رشته دانشگاه
فیزیک
اینستاگرام
پاسخ : تعادل یک توده گاز کروی

سلام
والا منم هر کتابی تا بحال دیدم چیزی جز تعادل معروف (همون دومیه!) ننوشته و همه جا هم مساحت و ثابت در نظر گرفتن و نمیدونم چرا شما تو قسمت اول یه دیفرانسیل مساحت و اضافه کردین؟ خب اگه شما حالت دوم و کاملا قبول دارین میتونیم با استفاده از همون توجیهش کنیم:
میتونیم فرض کنیم اومدیم این پوسته کروی و پهنش کردیم رو صفحه! بعد میتونیم مثه همون استوانه یا مکعب مستطیل باهاش برخورد کنیم یعنی مساحت و ثابت بگیریم!
ولی من بهتون پیشنهاد می کنم اون استدلال دومیه رو هم قبول نکنین!!! چون با اولی فرقی نمیکنه! نگاه کنین شما تو دومی میاین یه مکعب مستطیل یا استوانه یا هر شکل دیگه ای رو میگیرین به عنوان جز حجم! ولی مشخصات اون مکعب مستطیله مثلا دقیق مشخص نیست! دو حالت داره یا اضلاع عمودی مکعب مستطیل در راستای شعاعی ان یا نیستن! اگه هستن که خب ما نمیتونیم مساحت وجه های بالا و پایینش رو برابر بگیریم و دقیقا همون اختلافی که تو قسمت اول و دوم بدست آوردین بدست میاد! حالت دیگش اگه اضلاعش رو شعاعی در نظر نگیریم و یه حالتی درست کنیم که مساحت بالا و پایینش برابر شن خب این موقع دیگه حق نداریم دیفرانسیل جرم و اون چیزی که شما نوشتین یعنی rho A dr در نظر بگیریم چون برای قسمت های مختلف کف این مکعب مستطیل که خودتون گفتین عمود بر شعاعه dr های متفاوتی داریم!
به نظر من ما باید برای بدست آوردن تعادل اون جز مساحت رو هم در نظر بگیریم ولی میایم برای اینکه از این تغییر مساحت در راستای شعاع صرف نظر کنیم خودمونو گول میزنیم و مساحتمونو کوچیک می گیریم!
اگه منظورمو نرسوندم ببخشید خیلی بدون کاغذ سخته!
راستی یه پیشنهاد: جدیدا یه نرم افزار هایی با اسامی مختلف Mathtype و ... اومده که ریاضی مینویسه! بابا پدرمون دراومد این متن شما رو خوندیم!
خوشحال میشم جواب این ابهامو دقیق بفهمم!
 

mkhani

کاربر فعال
ارسال‌ها
52
امتیاز
71
نام مرکز سمپاد
شهيد سلطاني
شهر
كرج
مدال المپیاد
مدال طلا هشت كشوري، نفر اول تيم اعزامي ايران به المپياد جهاني فيزيك و كسب مدال نقره يك المپياد جهاني فيزيك در سال 2011
دانشگاه
دانشگاه صنعتي شريف
رشته دانشگاه
برق
پاسخ : تعادل یک توده گاز کروی

هر دو راه تقریبا اشتباهه!
اشتباه راه اول) فکر کنید به این که 4πr^2*P یعنی چی؟

اشتباه راه دوم) وقتی شما یک المان در نظر می گیرید باید نیروی وارد بر وجوه جانبی را هم در نظر بگیرید! اونا هم مولفه ی شعاعی دارن
 
ارسال‌ها
3,096
امتیاز
12,025
نام مرکز سمپاد
.
شهر
.
سال فارغ التحصیلی
2000
رشته دانشگاه
فیزیک
پاسخ : تعادل یک توده گاز کروی

به نقل از mkhani :
هر دو راه تقریبا اشتباهه!
اشتباه راه اول) فکر کنید به این که 4πr^2*P یعنی چی؟

اشتباه راه دوم) وقتی شما یک المان در نظر می گیرید باید نیروی وارد بر وجوه جانبی را هم در نظر بگیرید! اونا هم مولفه ی شعاعی دارن
اولی رو که نمیدونم.

ولی تو دومی نیروی وارد بر وجوه جانبی از مرتبه ی دومه ...
 

sooshans

کاربر فعال
ارسال‌ها
46
امتیاز
224
نام مرکز سمپاد
شهيد بهشتی
شهر
گرگان
سال فارغ التحصیلی
1392
مدال المپیاد
نقره کشوری نجوم
دانشگاه
شریف
رشته دانشگاه
فیزیک
اینستاگرام
پاسخ : تعادل یک توده گاز کروی

میشه این نیرویی که به وجه های جانبی وارد میشه رو یه توضیح بدین و این که چرا از مرتبه دومه؟ #-o
 
ارسال‌ها
3,096
امتیاز
12,025
نام مرکز سمپاد
.
شهر
.
سال فارغ التحصیلی
2000
رشته دانشگاه
فیزیک
پاسخ : تعادل یک توده گاز کروی

چون برای محاسبه ی این مولفه علاوه بر این که بار فشار در سطح ضرب بشه (مثل مولفه های دیگه که این مرتبه یکه) باید توی یه سینوس دی تتا دوم یا دی فی دوم هم ضرب بشه.
 
  • شروع کننده موضوع
  • #7

mamalmln

کاربر حرفه‌ای
ارسال‌ها
414
امتیاز
149
نام مرکز سمپاد
شهید بهشتی شهر ری
شهر
تهران
مدال المپیاد
فیزیک
پاسخ : تعادل یک توده گاز کروی

به نقل از mkhani :
هر دو راه تقریبا اشتباهه!
اشتباه راه اول) فکر کنید به این که 4πr^2*P یعنی چی؟

اشتباه راه دوم) وقتی شما یک المان در نظر می گیرید باید نیروی وارد بر وجوه جانبی را هم در نظر بگیرید! اونا هم مولفه ی شعاعی دارن
خب یعنی نیروییی که در شعاع آر به سطح پایینی لایه وارد می شه!چرا غلطه ؟؟؟!!!
 

sooshans

کاربر فعال
ارسال‌ها
46
امتیاز
224
نام مرکز سمپاد
شهيد بهشتی
شهر
گرگان
سال فارغ التحصیلی
1392
مدال المپیاد
نقره کشوری نجوم
دانشگاه
شریف
رشته دانشگاه
فیزیک
اینستاگرام
پاسخ : تعادل یک توده گاز کروی

سلام ببخشید من تو پست قبلیم گفته بودم که برا قسمت اول حلتون نباید تغییر مساحت داشته باشیم و یه دلیل هم دارم:
شما dv رو نوشتین
eqn.png
حالا من میام این عبارتو برای حجم یک مکعب مستطیل بکار میبرم. یه مکعب مستطیل که مساحت قاعدش
eqn.png
و ارتفاعش
eqn.png
است
حالا اگه با پوسته کروی مون مقایسش کنیم می بینیم که مساحت قاعده و ارتفاع هر دو برابره و یه شرط دیگه هم برا اون مکعبه داریم که در هر نقطه اون ارتفاعه بر صفحه قاعدش عموده که دقیقا همین شرایطو تو پوسته کروی داریم یعنی اون ارتفاعه که بردار شعاعیه در همه نقاط پوسته بر مساحت کف پوست عموده! پس نتیجه می گیریم که باید مساحت سطح بالایی هر دو برابر باشه. خب پس دیگه
eqn.png
نداریم.
و این که من الان که نگاه کردم متوجه شدم تقریبا ایرادی به راه دوم وارد نیس! اون چیزی که من دفعه پیش گفته بودم خیلی جزییه.
 
ارسال‌ها
3,096
امتیاز
12,025
نام مرکز سمپاد
.
شهر
.
سال فارغ التحصیلی
2000
رشته دانشگاه
فیزیک
پاسخ : تعادل یک توده گاز کروی

به نقل از sooshans :
سلام ببخشید من تو پست قبلیم گفته بودم که برا قسمت اول حلتون نباید تغییر مساحت داشته باشیم و یه دلیل هم دارم:
شما dv رو نوشتین
eqn.png
حالا من میام این عبارتو برای حجم یک مکعب مستطیل بکار میبرم. یه مکعب مستطیل که مساحت قاعدش
eqn.png
و ارتفاعش
eqn.png
است
حالا اگه با پوسته کروی مون مقایسش کنیم می بینیم که مساحت قاعده و ارتفاع هر دو برابره و یه شرط دیگه هم برا اون مکعبه داریم که در هر نقطه اون ارتفاعه بر صفحه قاعدش عموده که دقیقا همین شرایطو تو پوسته کروی داریم یعنی اون ارتفاعه که بردار شعاعیه در همه نقاط پوسته بر مساحت کف پوست عموده! پس نتیجه می گیریم که باید مساحت سطح بالایی هر دو برابر باشه. خب پس دیگه
eqn.png
نداریم.
و این که من الان که نگاه کردم متوجه شدم تقریبا ایرادی به راه دوم وارد نیس! اون چیزی که من دفعه پیش گفته بودم خیلی جزییه.

شما نمیتونید dv رو همینطوری مکعب فرض کنید ... این کاملا" به اون مرتبه ای که معادلاتتون رو نگه داشتید بستگی داره ...

وقتی دیورژانس هم میخوایم حساب کنیم این موضوع رو در نظر میگیریم.
 

sooshans

کاربر فعال
ارسال‌ها
46
امتیاز
224
نام مرکز سمپاد
شهيد بهشتی
شهر
گرگان
سال فارغ التحصیلی
1392
مدال المپیاد
نقره کشوری نجوم
دانشگاه
شریف
رشته دانشگاه
فیزیک
اینستاگرام
(بدون موضوع)

خب منم منظورم همینه دیگه! اگه بخوایم تا مرتبه اول ‏dr‏ و نگه داریم دیگه نباید ‏dA‏ داشته باشیم! مکعبم برا توجیه همین گفتم!
 
ارسال‌ها
3,096
امتیاز
12,025
نام مرکز سمپاد
.
شهر
.
سال فارغ التحصیلی
2000
رشته دانشگاه
فیزیک
پاسخ : تعادل یک توده گاز کروی

به نقل از sooshans :
خب منم منظورم همینه دیگه! اگه بخوایم تا مرتبه اول ‏dr‏ و نگه داریم دیگه نباید ‏dA‏ داشته باشیم! مکعبم برا توجیه همین گفتم!

ولی معادلات چیز دیگه ای میگن ... اگه dA لازم نبود باید معادلات جمله مرتبه دوم میداد
 

mkhani

کاربر فعال
ارسال‌ها
52
امتیاز
71
نام مرکز سمپاد
شهيد سلطاني
شهر
كرج
مدال المپیاد
مدال طلا هشت كشوري، نفر اول تيم اعزامي ايران به المپياد جهاني فيزيك و كسب مدال نقره يك المپياد جهاني فيزيك در سال 2011
دانشگاه
دانشگاه صنعتي شريف
رشته دانشگاه
برق
پاسخ : تعادل یک توده گاز کروی

به نقل از برگ پاییزی :
خب یعنی نیروییی که در شعاع آر به سطح پایینی لایه وارد می شه!چرا غلطه ؟؟؟!!!
جهتش چیه؟
 
  • شروع کننده موضوع
  • #13

mamalmln

کاربر حرفه‌ای
ارسال‌ها
414
امتیاز
149
نام مرکز سمپاد
شهید بهشتی شهر ری
شهر
تهران
مدال المپیاد
فیزیک
پاسخ : تعادل یک توده گاز کروی

بحث تمومه .اشکال روش اول :فشار ضربدر پی آر دو که اصلا نیرو نیست !(همون حرف آقای خانی !)
اشکال روش دوم :شکل المان غلطه چون تقارن ما کروی است !
The end.
دیگه نیازی به ادامه بحث نیست
 

sooshans

کاربر فعال
ارسال‌ها
46
امتیاز
224
نام مرکز سمپاد
شهيد بهشتی
شهر
گرگان
سال فارغ التحصیلی
1392
مدال المپیاد
نقره کشوری نجوم
دانشگاه
شریف
رشته دانشگاه
فیزیک
اینستاگرام
پاسخ : تعادل یک توده گاز کروی

به نقل از برگ پاییزی :
بحث تمومه .اشکال روش اول :فشار ضربدر پی آر دو که اصلا نیرو نیست !(همون حرف آقای خانی !)
اشکال روش دوم :شکل المان غلطه چون تقارن ما کروی است !
The end.
دیگه نیازی به ادامه بحث نیست
ببخشید که پست میدم یه سوال فقط:
پس همه تعادل هیدروستاتیک هایی که تو این همه کتاب معتبر نوشته کشک؟؟؟ :-\ :rolleyes:
 
بالا