سوالات ریاضی

[Static]

سلام
یه سوال دیدم نوشته بود که "5 مهره سفید و 9 مهره سیاه داریم. به تصادف 4 مهره خارج می کنیم به جاش 5 مهره سفید می زاریم یک مهره خرج می کنیم با چه احتمالی سفیده؟"
می خواستم بپرسم ایا می شه اینجا بگیم فرض کنیم که اول دفعه هر 4 مهره سفیدن بعد به اون شرط بیاییم و احتمال سفید بودن مهره رو برداریم و به همین ترتیب پیش بریم یعنی 4 مهره سفید + 3 مهره سفید+ 2 مهره سفید+1 مهره سفید+ هیچ مهره سفید ؟
اتخاب 4 از 5 در 6 + انتخاب 3 از 5 در 7 در انتخاب 1 از 9+ انتخاب 2 از 5 در 8 در انتخاب 2 از 9 + انتخاب 1 از 5 در 9 در انتخاب 3 از 9+ انتخاب 4 از 9 در 10 ( کل اینو حساب می کنیم تقسیم بر انتخاب 4 از 14 می کنیم )
اگر راه حل کوتاه تری می شناسید یا فک می کنید غلطه بگید

من آنالیز ترکیبیم زیاد خوب نیست، ولی درنظر بگیر که کلیه‌ی حالت‌های بعد از جایگذاری ۵ مهره‌ی سفید این‌ها میشن:

۱- اگه از ۴ مهره‌ی خارج شده همگی سفید باشن، در نهایت ۶ سفید و ۹ سیاه خواهیم داشت.
۲- اگه از ۴ مهره‌ی خارج شده ۳ تاش سفید باشن، در نهایت ۷ سفید و ۸ سیاه خواهیم داشت.
۳- اگه از ۴ مهره‌ی خارج شده ۲ تاش سفید باشن، در نهایت ۸ سفید و ۷ سیاه خواهیم داشت.
۴- اگه از ۴ مهره‌ی خارج شده یکیش سفید باشه، در نهایت ۹ سفید و ۶ سیاه خواهیم داشت.
۵- و اگه از ۴ مهره‌ی خارج شده هیچ‌کدوم سفید نباشن، در نهایت ۱۰ سفید و ۵ سیاه خواهیم داشت.

برای هر حالت هم فکر می‌کنم باید انتخاب n مهره‌ی سفید ضرب‌در انتخاب m مهره‌ی سیاه (n+m=4) تقسیم‌بر انتخاب ۴ از ۱۴ رو ضرب‌در احتمال سفید بودن در حالتِ نهایی برای هرکدوم از این ۵ حالت بنویسی.
جواب آخرم چهار هفتم دراومد. نمی‌دونم آیا درسته راه حلم یا نه. ولی حس می‌کنم با عقل جور درمیاد، چون اولش که تعداد مهره‌های سفیدمون کمه، احتمال سفید شدنش حدود ۳۶٪ عه و وقتی ما ۴ تا مهره رو درمیاریم و ۵ تا سفید وارد می‌کنیم، کمی به سفید بودن (بسته به اینکه چی رو خارج کردیم) کمک می‌کنه و به ۵۷٪ می‌رسونه. در بهترین حالت ۴ سیاه بیرون میرن و ۱۰ تا سفید می‌مونن که ۶۶٪ ماکزیمم احتمالشه، ولی اینکه ۴ تا سیاه برن بیرون خودش احتمالش کمه.

 

[Static]

این سوال رو دیشب خواب دیدم :‌))))
دیگه فکر کنم به مرحله‌ی جدیدی از رد دادن رسیدم.
بیدار که شدم فوری نوشتمش و روش فکر کردم و به جوابش هم رسیدم. زیاد سخت نیست ولی جالبه.

دایره‌ای به شعاع ۱ واحد مطابق شکل در مستطیلی محاط شده است. خطی را به گونه‌ای رسم می‌کنیم تا مستطیل تبدیل به دو ذوزنقه شود و دایره در یکی از ذوزنقه‌ها محاط گردد.

۱- نسبت دو قاعده‌ی ذوزنقه‌ی محیطی را پیدا کنید و معادله‌ی آن را رسم کنید.
۲- محدوده‌ی تمام زوایای ممکن برای رسم خط مذکور را بیابید.

 

[Dexter Morgan]

۱- نسبت دو قاعده‌ی ذوزنقه‌ی محیطی را پیدا کنید و معادله‌ی آن را رسم کنید.

این تیکه رو نمیفهمم
نسبت دو قاعده رو بر حسب چی بگیم؟ اخه ثابت نیست
معادله شو رسم کنیم یعنی چی اونوقت؟

 

[Static]

این تیکه رو نمیفهمم
نسبت دو قاعده رو بر حسب چی بگیم؟ اخه ثابت نیست
معادله شو رسم کنیم یعنی چی اونوقت؟

خب همین، نسبتشون متغیره. تابع ضمنی میشه.
+ اینم اشاره کنم که طول مستطیل نامحدوده، اگرچه که قاعدتاً کران پایینی داره.

 

[Static]

راه حلشون رو نوشتم؛ اگرچه در خصوص سوال دوم کمی تردید دارم (به نظرم صفر تا ۱۸۰ میشه) ، اما بقیه‌ش اوکی‌ن. اگر حوصله‌ی حلش رو نداشتید از این‌جا ببینید:

۱ | ۲ | ۳

+ نمودارش رو بد کشیدم تمیز درنیومد، تو عکس سوم دقیق‌ترش رو گذاشتم.

 

[ili]

۱- نسبت دو قاعده‌ی ذوزنقه‌ی محیطی را پیدا کنید و معادله‌ی آن را رسم کنید.
۲- محدوده‌ی تمام زوایای ممکن برای رسم خط مذکور را بیابید

من حلش کردم ولی دیر اومدم مثل این که
قسمت ب که جواب معلومه می شه ارکتانژانت منفی ایکس / ایگرگ که زاویه رو می ده
قسمت ب می شه:
X+Y-(X^2+Y^2)/X-Y-(X^2+Y^2)
که وقتی پی دی اف جواباتون رو الان یه نگاه انداختم اصلا جبری ننوشته بودین

 

[ili]

(به نظرم صفر تا ۱۸۰ میشه) ،

البته چون تقارن وجود داره می تونیم بگیم از صفر تا ۹۰ درجه یک چهارم دایره هم که می افته پایین زاویه منفی داره

 

[Dexter Morgan]

راجع به تقریب بالا چه نظری میشه داد؟ منظورم اینه که چجوری با توجه به تابع میتونیم خطای تقریب بالا رو بسنجیم؟

 

[Static]

راجع به تقریب بالا چه نظری میشه داد؟ منظورم اینه که چجوری با توجه به تابع میتونیم خطای تقریب بالا رو بسنجیم؟

من مثال می‌زنم همیشه؛
تابع درجه ۲ (ایکس به توان دو) رو درنظر بگیر، جمعش تا n میشه:
n(n+1)(2n+1)/6
انتگرالش هم از ۱ تا n میشه:
(n^3 -1) × 1/3
تفاضل این دو مقدار اگه اشتباه نکنم این میشه (چک نکردم) :
(3n^2 +n+2) × 1/6
کلاً فکر کنم باید سیگمای اف ایکس از یک تا n رو منهای انتگرالش از یک تا n کنی تا خطای تقریبش به‌دست بیاد. :-‌؟

 

[Dexter Morgan]

کلاً فکر کنم باید سیگمای اف ایکس از یک تا n رو منهای انتگرالش از یک تا n کنی تا خطای تقریبش به‌دست بیاد

اره خب. ولی حساب کردن اون سیگمائه همیشه جواب گو نیست
خواستم بدونم راهی برای دور زدنش هست؟
شاید یکیش این باشه که f(n) رو با انتگرال f(x) ایکس از n تا n+1 رو مقایسه کنیم

 

[Static]

اره خب. ولی حساب کردن اون سیگمائه همیشه جواب گو نیست
خواستم بدونم راهی برای دور زدنش هست؟
شاید یکیش این باشه که f(n) رو با انتگرال f(x) ایکس از n تا n+1 رو مقایسه کنیم

آره به تابعه بستگی داره.
اینی که گفتی نمی‌دونم کمکی به پیدا کردن خطای این رابطه می‌کنه یا نه چون داری یه چیز جدا رو حساب می‌کنی برای یه چیز جدای دیگه.
+ حالا این رابطه در کل صحتی داره یا خودت پرسیدی؟

 

[Dexter Morgan]

آره به تابعه بستگی داره.
اینی که گفتی نمی‌دونم کمکی به پیدا کردن خطای این رابطه می‌کنه یا نه چون داری یه چیز جدا رو حساب می‌کنی برای یه چیز جدای دیگه.
+ حالا این رابطه در کل صحتی داره یا خودت پرسیدی؟

خودم پرسیدم

 

[Static]

این سوال، یکی از سخت‌ترین سوالات تاریخ المپیادهای جهانی ریاضیه.

در توصیف سختی‌ش همین بس که تنها 2 نفر از 615 شرکت‌کننده موفق شدن بهش پاسخ بدن و 608 فاکین نفر یعنی 99% شرکت‌کنندگان 0 امتیاز ازش گرفتن! :‌))) + عکس
من دست کم در 30 دورۀ اخیر که بررسی می‌کردم هیچ‌وقت چنین چیزی رو ندیدم. و از همۀ این‌ها جالب‌تر اینه که این سوال شمارۀ 6 نبوده، شمارۀ 3 بوده! بنا هست که همیشه به ترتیب سختی چینش اتفاف بیفته و سوال ششم از همه سخت‌تر باشه، اما این سوال به قدری چغر بود که اونو تحت‌الشعاع قرار داد.

پاسخ تشریحی‌ش هم به زبون انگلیسی واستون می‌گذارم. من که نفهمیدم، اگر کسی فهمید توضیح بده راه حلش رو.

+ آمار 10 نفر اول اون سال فقط! نفر اولش از ایرانم هست.

 

[Amirhsz]

پاسخ : سوالات ریاضی


آخه دو تا کسرش برابره.کسری که به دست میاد هم با اونا برابر میشه.

بین دو عدد برابر هیچ عددی وجود نداره

 

[MohammadRεζα]

سلام
"2n نقطه در صفحه داده شده است. از بین پاره خط های بین دو به دوی این نقاط، n^2 +1 پاره خط به دلخواه رسم شده اند. ثابت کنید سه نقطه وجود دارند که هر سه پاره خط بین این نقاط رسم شده اند."

این سوال رو باید با استقرا حل کنیم ولی سوالش یه جوریه ! انگار یکم بدیهی بنظر می رسه، تو اینجور سوالا چجوری از استقرا کمک بگیریم ؟

 

[Static]

یه سوال از مبحث احتمال داشتم؛

«در آزمایش تکراری پرتاب دو تاس باهم، احتمال آمدن مجموع ۱۱ قبل از آمدن عدد هر دو تاس یکسان چه‌قدر است؟»

مگه مقصود سوال این نیست که در پرتاب n ام که عدد دو تاس برابر میشه، در تمام پرتاب‌های قبلی مجموع دو تاس ۱۱ نباشه الّ‍ا در پرتاب n-1 ام؟
با این استراتژی حل کردم جواب یک ششم درمیاد، ولی انگار غلطه و یک چهارم میشه.

نظری ندارید؟

 

[Dexter Morgan]

کسی میدونه باید چیکار کنم؟

 

[Static]

کسی میدونه باید چیکار کنم؟

نگفت اون مرکز دایره‌ست یا نه؟

 

[Dexter Morgan]

نگفت اون مرکز دایره‌ست یا نه؟

چرا مرکزشه. مرکز دایره محاطی

 

[Static]

چرا مرکزشه. مرکز دایره محاطی

اگه مرکز دایره‌ی محیطی باشه که خب اثبات شعاع دایره‌ی محیطی اثبات معروفیه و منم همون رو که بلد بودم نوشتم، این‌جا. مساحت هم از هرون به دست میاد. فرمول بدون مساحتش هم این‌جا نوشتم.
اما در خصوص زوایا من ایده‌ای جز استفاده از معکوس مثلثاتی به ذهنم نرسید.
کافیه اول شعاعو به دست بیاری، طول هر ضلع هم که داری، بعد هر دو رو تو فرمول می‌گذاری.