سوالات تورنمنت(خیلی فوریه!)

[Carina]

سلام بچه ها
این جمعه مرحله دو تورنمنت هستش
یه سری سوالات رو باید قبلش کار کنیم، بعضیاشو مشکل داشتم
گفتم حتما" اینجا بچه ها می تونن کمک کنن.
ممنون میشم سریع جواب بدین
(من المپیادی نیستم اگه سوالاش آسون بود مسخرم نکنین! :-[)


1- در مسابقه ریاضی هر یک از شرکت کنندگان حداقل 3 دوست در میان بقیه دارد. ثابت کنید که هیئت داوران می تواند تعداد زوجی از شرکت کنندگان(بیش از 2 نفر) را انتخاب کند و آن ها را به گونه ای دور یک میز بنشاند که در دو طرف هر فرد، دو دوستش نشسته باشند؟

2-چگونه می توان تنها با استفاده از پرگار تعیین کرد که یک زاویه ی داده شده برابر 31 درجه است؟(تعداد دایره های رسم شده می تواند به تعداد دلخواه زیاد باشد.)

3-سوزنی روی صفحه قرار دارد. می توان آن را حول هر یک از 2 نقطه انتهایی اش 45 درجه چرخاند.
آیا ممکن است که بعد از تعدادی از این دوران ها، سوزن به جای اولش برگردد اما جای نقاط انتهایی آن عوض شده باشد؟(سوزن را مانند یک پاره خط در نظر بگیرید.)

4- آیا ممکن است که وجوه یک 8وجهی منتظم را با تعدادی 6 ضلعی منتظم پوشاند بدون آنکه جایی خالی بماند و یا 6 ضلعی ها روی هم قرار بگیرند؟(یک 8 وجهی منتظم دارای 6 راس است، همه ی وجوه مثلث های متساوی الاضلاع هستند و هر راس به 4 وجه تعلق دارد.)


هر چه سریع تر
ممنونتون میشم

 

[IMO_IMC]

پاسخ : سوالات تورنمنت(خیلی فوریه!)

سوال 2 :
اول با پرگار 5 تا از این زاویه رو کنای هم می چینیم تا یه زاویه 155 درجه برسیم.
حالا یه زاویه 180 می خواهیم که 25 تا ازش کم بشه.
اول یه زاویه 30 درجه می کشیم(استفاده از دو خط عمود و استفاده از نسبت 1 به 2 زاویه 30 درجه)
حالا با ترکیب 180 و 30 میشه 150 رو ساخت.هنوز 5 درجه می خواهیم.زاویه 30 رو نصف می کنیم و دوباره 15 درجه رو تثلیث می کنیم