المپیاد 1 سوال هندسه

[ماهان بابل]

سلام بر دوستان من!

"اگر 'B و 'C پای ارتفاع وارد بر اضلاع AC و AB مثلث ABC باشدو H مرکز ارتفاعی و O مرکز دایره محیطی و M وسط ضلع BC و K محل برخورد AO با ضلع BC باشد و P محل برخورد 'B'C و AH باشد ثابت کنید PK موازی است با HM .

 

[S.M.P]

پاسخ : 1 سوال هندسه

لم: اگر H را نسبت به M قرینه کنیم ، روی دایره قرار می گیرد و آن نقطه روبرو قطری نقطه ی A می باشد.

اگر قرینه ی H را نسبت به ‌H'،M بنامیم. برای اینکه بگوییم PK//HM باید اثبات کنیم که نسبت AP به AH برابر است با نسبت AK به H'A .
می دانیم که مثلث ABC با مثلث B'C'A متشابه است و همچنین زاویه CAO با زاویه C'PA برابر است پس AP و AK با یکدیگر متانسب اند و از آنجایی که دو مثلث مذکور متشابه هستند، قطر دایره های محیطی آن ها نیز با یکدیگر متناسب است.

پس در نتیجه نسبت AP به AH برابر است با نسبت AK به H'A .