• اگر سمپادی هستی همین الان عضو شو :
    ثبت نام عضویت

شنیدنی‌های ریاضی

  • شروع کننده موضوع
  • #1
ارسال‌ها
1,546
امتیاز
26,893
نام مرکز سمپاد
ضروری
شهر
ضروری
سال فارغ التحصیلی
0
در این‌جا قصد داریم دربارۀ چیزهای جالبی که در دنیای ریاضی وجود داره حرف بزنیم؛ ولی لیترالی باید حرف بزنیم، یعنی به صورت صوتی ریکورد کنیم و اگر لازم به تصویری هم بود، اون رو ضمیمه کنیم.

فقط هم مختص به من نیست و بقیه هم بیان و توضیح بدن اگر حرف جالبی برای گفتن دارن.

موضوعی که من امروز تصمیم داشتم در رابطه با اون صحبت کنم رو از این‌جا می‌تونید گوش کنید و تصویر زیر هم برای دنبال کردن و فهم بهترش قرار دادم. (تپق هم زیاد دادم می‌دونم)

euler_39_s_sum_of_powers_conjecture_w48t.png
 

MRΣZA

کاربر حرفه‌ای
کنکوری 1403
ارسال‌ها
342
امتیاز
4,020
نام مرکز سمپاد
شهید بهشتی
شهر
ابهر
سال فارغ التحصیلی
1403
مجموع اعداد طبیعی تا بی‌نهایت...
با بیان ساده
(می‌تونید زیرنویس رو فعال کنید)
پ.ن: البته لازمه بگم که این اثبات یه مشکل ریزی داره که در کل باعث نقضش میشه، می‌تونید پیداش کنید؟ :) (مربوط به همگرا و واگرا بودن...)
 
  • شروع کننده موضوع
  • #3
ارسال‌ها
1,546
امتیاز
26,893
نام مرکز سمپاد
ضروری
شهر
ضروری
سال فارغ التحصیلی
0
بنا بود که این قسمت رو براتون ریکورد کنم، اما چون کمی صدام گرفته بود و شرایط ضبط صدا هم در حال حاضر برام مهیا نبود، گفتم ممکنه به صورت نوشتاری هم براتون جذاب باشه خوندنش.

قصد دارم به بررسی یکی از سوالات بسیار معروف و زیبای المپیاد ریاضی بپردازم. سوالی که شماره‌ی ۶ هم هست؛ پس می‌دونیم که بسیار سخت قلمداد میشه. مهر تأیید دیگری بر حرفم هم اینه که ترنس تائو که در اون سال (۱۹۸۸) مدال طلاش رو به عنوان جوان‌ترین برنده‌ی طلای ریاضی کسب کرد، از این سوال فقط ۱ امتیاز گرفت!

شرح صورت سوال بدین شکله:
1988q6_8m77.png
منظور سوال اینه که به عنوان مثال اگر من a و b رو 8 و 2 درنظر بگیرم، حاصل عبارت میشه 68 به روی 17 یا همون 4 که یک عدد مربع کامله؛ و اگر 3 و 2 در نظر بگیرم، حاصل عبارت میشه 13 به روی 7 که اصلاً عدد صحیح نیست که بخوایم بگیم مربع کامل هست یا نه، چون شرط سوال این بود که حاصلش یه عدد صحیح مثبت مثل k بشه.

خب، برای اثبات، میام از طریق برهان خلف، فرض می‌کنم که k، مربع کامل نیست، و فرض می‌کنم دو عدد مثل آلفا و بتا، کوچیک‌ترین اعدادی هستن که در عبارت صورت سوال صدق می‌کنن و به ما k تحویل میدن. از طرفی هم می‌دونیم آلفا و بتا در این‌جا خاصیت جابه‌جایی دارن و فرقی نمی‌کنه کدوم، کدوم باشه. مثلاً تو مثالی که اون بالا زدم اگه a=2 باشه و b=8 هم جواب 4 عه و فرقی نمی‌کنه. اما خب من فرض می‌کنم که آلفا بزرگ‌تر از بتاست، اما در کل این دو مقدار، کمترین مقادیری هستن که تو این عبارته صادقن.

به چنین چیزی می‌رسم:
1988a6-1_bmc7.png
اومدم طرفین وسطین کردم و به یک عبارتی رسیدم که شبیه معادلۀ درجه دوعه که آلفا یکی از ریشه‌هاشه. اسم این معادلۀ درجه دو رو ** گذاشتم و بعداً هم باهاش کار دارم. هر معادلۀ درجه دویی دو ریشه داره، کاری ندارم مختلط یا حقیقی. همیشه دو ریشه داره. پس یک عددی مثل گاما هم می‌تونم برای این معادله فرض کنم که ریشه‌ش هست.
1988a6-2_hapu.png
پس برای من امکان‌پذیره که معادلۀ ** رو به صورت حاصل ضرب دو عبارتی بنویسم که ریشه‌هاشون آلفا و گاماست. حالا میام اینا رو پخش می‌کنم و با خود ** مقایسه می‌کنم. می‌فهمم حاصل جمع ریشه‌ها برابر کا ضرب‌در بتاست، پس گاما رو به فرم کا بتا منهای آلفا می‌نویسم. چه نتیجه‌ای از این می‌تونم بگیرم؟ هم کا، هم بتا و هم آلفا همگی اعداد صحیح مثبتن، اعداد صحیح روی عمل جمع و ضرب بسته هستن پس گاما هم قطع به یقین یک عدد صحیحه و مختلط نیست. حاصل ضرب ریشه‌ها هم به شکل بتا به توان دو منهای کا درمیاد، بنابراین اگر طرفین رو بر آلفا تقسیم کنم، گاما به شکل بتا دو منهای کا، به روی آلفا درمیاد. اسم این عبارت رو هم *** می‌گذارم. از این چه نتیجه‌ای میشه گرفت؟ من می‌دونم طبق فرضِ برهان خلفم، کا یک عدد مربع کامل نیست، پس کا هرگز نمی‌تونه با بتا دو که خودش یک عدد صحیح مربع کامله یکی باشه، پس هیچ‌وقت صورتِ این کسر صفر نمیشه، و این یعنی گاما صفر نیست.

حالا نوبت اینه گاما رو تعیین علامت کنم. تا این‌جای کار علاوه بر آلفا و بتا، تونستم یک عدد جدیدی هم پیدا کنم که در * صدق می‌کنه، عدد صحیحه و ناصفره. اگر مثبت هم باشه که دیگه خیلی خوب میشه. می‌دونیم که آلفا توی معادلۀ ** صدق می‌کرد، معادلۀ ** خودش از معادلۀ * ساخته شده بود، پس گامایی که از معادلۀ ** استخراج کردم هم طبیعتاً باید تو * صدق بکنه.

1988a6-3_ltbw.png
گاما رو به جای آلفا قرار میدم. می‌دونم حاصل کسر میشه کا که یک مقدار مثبتیه. از طرفی صورت این عبارت جمع دو عدد صحیح بزرگ‌تر مساوی یکه پس صورت هم مثبته. تو مخرج عدد 1 که مثبته، بتا هم عدد صحیح مثبته پس مثبته، گاما می‌تونه منفی باشه؟ خیر. پس در نهایت نتیجه می‌گیریم گاما یک عدد صحیح مثبته.
اگر بخوایم برهان خلفمون نتیجه‌بخش باشه باید یه جوری ثابت کنیم که این گاما از آلفا کوچیک‌تره. اگه به این برسیم فرض خلفمون باطل و حکم ثابت میشه.
ما ابتدای کار گفتیم آلفا و بتا خاصیت جابه‌جایی دارن اما فرض می‌کنیم آلفا از بتا بزرگ‌تره. طرفین رو به توان دو که برسونیم، به آلفا دو بزرگ‌تر مساوی بتا دو می‌رسیم. اگر عدد کا که خودش مثبته رو از سمت راست نامساوی کم کنیم، ایرادی پیش نمیاد فقط علامت مساوی از بین میره و آلفا دو میشه بزرگ‌تر از بتا دو منهای کا. اگر طرفین رو بر آلفا تقسیم کنم، به چیز جالبی می‌رسم! اگر به *** نگاه کنین، می‌بینین که آلفا از گاما بزرگ‌تر شده! یعنی گاما شده کوچیک‌تر از آلفایی که خودش قرار بود به همراه بتا، کوچیک‌ترین اعدادی باشن که در اون عبارت * صدق می‌کنن! این گاما دیگه از کجا پیداش شد؟ و مسلماً گاما با بتا هم برابر نیست چون اگه برابر باشه این اتفاق میفته:
1988a6-4_i6a9.png
که چون بتا از آلفا کوچیک‌ترمساویه، کا که خودش مثبت بود میشه کمترمساوی صفر که شدنی نیست. پس در نهایت به این نتیجه می‌رسیم که فرض اولیه‌مون که گفته بودیم k مربع کامل نیست غلطه و مربع کامله.

+ به عنوان تمرینِ مضاعف، ببینین می‌تونین کلیه‌ی زوج مرتب‌هایی که در این معادله یعنی * صدق می‌کنن پیدا کنین؟
چیزی که من بهش رسیدم، اینه که آلفا، باید مکعبِ بتا باشه. مثل ۲ و ۸، ۳ و ۲۷، و ... . در واقع هدف اصلی برهان خلف، این بود که گاما رو صفر درنظر نگیریم، درحالی که گاما صفر بود! و این یعنی آلفا تقسیم بر بتا برابر با k عه! :‌دی
اگر خارج از این فرمت یعنی (b^3 , b) اعدادی پیدا کردید بگید.
 
  • شروع کننده موضوع
  • #4
ارسال‌ها
1,546
امتیاز
26,893
نام مرکز سمپاد
ضروری
شهر
ضروری
سال فارغ التحصیلی
0
خب باز هم صوتی نمی‌تونم بگذارم و به نوشتاری بسنده می‌کنم D‌:

در این قسمت می‌خوایم پنچ درجه از معادلات چندجمله‌ای رو با هم حل کنیم.

polynomial_1_v622.png

درجۀ اول:
توضیح؟

polynomial_2_o29k.png

از راه ترسیم نمودار هم میشد حل کرد و کول‌تر هم میشد اگر نمودار رسم می‌کردم براش. نمودارش محور ایکس‌ها رو فقط در طولِ منفی یک قطع می‌کنه.

درجۀ دوم:
تمامی معادلات درجه دو از طریق دلتا حل میشن و همگی هم دو جواب دارن. ممکنه جواب‌ها حقیقی نباشن اما به هر حال دو جواب رو دارن و هدف هم رسیدن به اون‌هاست.
من به جای روش دلتا، میام از طریق مربع کامل حلش می‌کنم. منفی یک رو می‌برم اون‌ور، دقت می‌کنم که ضریب درجه دوی من یک باشه، که هست. حالا میام مجذورِ نصفِ ضریبِ درجه یکم رو (که خودش یک هست و نصفش میشه نیم و مجذورش میشه یک چهارم) رو به طرفین تساوی اضافه می‌کنم. حالا به یک عبارت مربع کامل می‌رسم. اونو تشکیل میدم و از طرفین جذر می‌گیرم. حواسم هم هست که مثبت منفی رو لحاظ کنم. در سطح دبیرستان اعداد موهومی تعریف نشدن، و در واقع این معادله جواب حقیقی نداره و هر دو ریشه imaginary هستن. یک دوم رو می‌برم اون طرف، رادیکال منفی سه چهارم هم برابر میشه با آی رادیکال سه دوم.

polynomial_3_nay4.png

درجۀ سوم:
پُر واضحه که می‌تونیم یه فاکتورگیری از دو جملۀ اول و دوم انجام بدیم و به جملۀ سوم و چهارم برسیم! حالا لازمه مجدداً فاکتورگیری رو انجام بدیم و به دو عبارت برسیم. هر عبارت رو مساوی صفر قرار میدیم. یادمون هم باشه که عبارت درجه سه، سه ریشه داره. اولین ریشه‌ش به وضوح منفی یکه. کلاً این چندجمله‌ای‌ها که به این صورت نوشته میشن، به ازای درجات فرد همواره یک ریشۀ منفی یک رو دارن. همیشه هم میشه ازشون ایکس علاوه یک رو فاکتور گرفت. عبارت دوم ریشۀ حقیقی نداره، اما خب در دستگاه موهومی دو ریشۀ مثبت و منفیِ آی داره که ریشه‌های دوم و سوم این معادله هستن.

polynomial_4_xle9.png

درجۀ چهارم:
همیشه انگار حل درجه زوج‌ها برای این‌ها مشکل‌تر و پُرپروسه‌تره. قلقِ کار این‌جاست که کل عبارت رو میشه بر ایکس به توانِ دو تقسیم کرد و به یه معادلۀ خوش استایل رسید. یه عبارت داره داد می‌زنه که میشه اونو به عنوان تغییر متغیر استفاده کرد ولی قبلش لازمه یکم شکل معادله رو تغییر بدیم و از اتحادها کمک بگیریم. پس از تغییر متغیر، معادلۀ درجه دومی بدست میاد که میشه به راحتی اونو حلش کرد و دو جوابِ جالب به ما میده؛ یکیش قرینۀ عدد طلاییه، یکیش معکوس عدد طلایی! حالا متغیر رو بازگردانی می‌کنیم و به دنبالِ ایکس می‌گردیم. قرار بود ایکس پیدا بشه و باید چهار جواب به دست بیاد، که میاد. واسه هر کدوم دوباره یه معادلۀ درجه دوم می‌نویسیم و ریشه‌هاشون رو پیدا می‌کنیم. هر چهار ریشه موهومی هستن.

polynomial_5_aqt5.png

درجۀ پنجم:
اصل کار این‌جاست! برای حلش باید اتحاد معروف اویلر رو بلد باشید که یکی از عجیب‌ترین و زیباترین فرمول‌های ریاضیه.
از روش تفکیک و تجزیه هم میشه اینو حل کرد اما یه راه بهتر و خلاقانه‌تر براش وجود داره. میایم و کل عبارت رو در ایکس منهای یک ضرب می‌کنیم. معادله تبدیل میشه به ایکس به توان شیش منهای یک مساوی صفر! خیلی ساده شد، نه؟ اما صبر کنید؛ دقت کنین که معادلۀ درجه شش، شش ریشه داره و معادلۀ اصلیمون پنج ریشه داشت. اون یه ریشۀ اضافی در واقع همون ایکس مساوی یک عه که خودمون بهش تزریق کردیم و اصلاً تو خود معادله هم صادق نیست. پس با فرض ایکس مخالف با یک، میریم جلو.
ایکس به توان شش، مساوی یک. می‌خوایم این معادله رو حل کنیم و می‌دونیم که شش ریشه باید داشته باشه. دو ریشه‌ش که حقیقی هستن، مثبت و منفی یک که مثبت یک قابل قبول نیست. اون چهار ریشۀ دیگه، با کمک اتحاد اویلر حل میشه. عددِ یک رو به دستگاه اعداد موهومی می‌بریم. طول شعاع برابر یکه و زاویۀ موهومی هم صفره، که این صفر رو میشه به شکل صفر علاوۀ دوپی‌ان نوشت. یعنی دوپی دوپی هم بچرخیم باز می‌رسیم به همین یک و تفاوتی نمی‌کنه، اما همین کار باعث میشه ریشه‌های موهومی مختلفی تولید شن.
پس به جای یک، می‌نویسیم ای به توانِ دوپی‌ان‌آی. طرفین رو به توانِ یک ششم می‌رسونیم و ایکس به فرم پی‌ان‌آی سوم بدست میاد. کافیه به ان اعداد صحیح بدیم. پنج تا عدد صحیح میدیم تا پنج ریشه حاصل شن. از صفر تا پنج رو به عنوان مثال انتخاب می‌کنیم و می‌دونیم صفر قابل قبول نیست چون به ما یک رو میده. اما مابقی اوکی هستن.

polynomial_6_u9vj.png
 
  • شروع کننده موضوع
  • #5
ارسال‌ها
1,546
امتیاز
26,893
نام مرکز سمپاد
ضروری
شهر
ضروری
سال فارغ التحصیلی
0
در بحث فاکتوریل، یکی از زیباترین و چالشی‌ترین سوالات ممکن رو الان دیدم؛ جوابش رو فردا اگر بتونم در شنیدنی‌های ریاضی قرار میدم.

تمام a,b,c هایی رو بیابید که:

fact_rszp.png
راه حلت هم بنویس‌.
بیش تر داستان بر پایه حدس ها بوده
آخه اصل ماجرا استدلالشه.
جوابت دست بر قضا درسته ولی باید ثابت کنی تنها مجموعه جوابی هست که وجود داره.

روی عکس‌ها زوم کنید تا بتونید بهتر ببینید.

f1_vz46.png

f2_px6c.png

f3_ud4p.png
 
  • شروع کننده موضوع
  • #6
ارسال‌ها
1,546
امتیاز
26,893
نام مرکز سمپاد
ضروری
شهر
ضروری
سال فارغ التحصیلی
0
photo_2023-02-13_13-40-20_k6p5.jpg

پوتنام (William Lowell Putnam Mathematical Competition) یک مسابقۀ سالانۀ ریاضی مشابه المپیاد جهانی ریاضیه که برخلاف المپیاد که ویژۀ دانش‌آموزانه، پوتنام مختص دانشجویان کارشناسی در دانشگاه‌های آمریکا و کاناداست. نفرات برتر این آزمون هم علاوه بر جوایز نقدی و بورسیۀ تحصیلی، در صورت قرارگیری در بین پنج نفر برتر حتی ممکنه بهشون اجازۀ تحصیل کاملاً رایگان در هاروارد داده بشه.
آزمون همیشه در اولین شنبۀ ماه دسامبر و در 6 ساعت برگزار میشه که شامل دو پارت 6 سواله هست که هر یک 3 ساعت وقت دارن؛ هر سوال هم 10 نمره داره که میشه 120 نمره. با وجود اینکه داوطلبان این آزمون معمولاً کسانی هستن که واقعاً شیفتۀ ریاضی هستن یا جزو نخبگان این علم به حساب میان، سطح دشواری این آزمون به قدری بالاست که میانۀ نمرات صفره :‌)) البته لازمه این فکت هم گفته بشه که بودن کسانی که تونسته باشن 120 نمرۀ کامل رو کسب بکنن، اما خب در این 84 سال که این آزمون برگزار شده تا الان فقط 5 نفر تونستن این کارو انجام بدن.
مشابه با المپیاد ریاضی، این 6 سوال به ترتیب سختی چیده شدن و بنا بر اینه که سوال ششم سخت‌ترین باشه، اما سختی در نگاه افراد متفاوته و گاهی پیش میاد که سوال ششم راه‌حل‌های خیلی قابل فهمی دارن!
در این‌جا می‌خوام یکی از این "سوال ششم"ها رو بهتون نشون بدم که ببینید حتی با وجود اینکه سخت‌ترین سوال در سخت‌ترین آزمون دنیاست، اما میشه حداقل برای فهمش تلاش کرد و به جوابش بدون استفاده از عملیات پیچیدۀ دانشگاهی دست پیدا کرد.

سوال A-6 از آزمون 1992: 4 نقطۀ دلخواه بر روی سطح یک کره در نظر می‌گیریم. چهاروجهی‌ای که به وسیلۀ این 4 نقطه شکل می‌گیرد، چه‌قدر احتمال دارد تا مرکز این کره را دربربگیرد؟

منظور سوال کاملاً واضح و قابل درکه، اما اینکه چی‌کار کنیم و چه‌گونه به جواب برسیم مسئله‌ست.
یک راه برای شروع به کار، اینه که بیایم و سوال رو به یک موردِ ساده‌تر و دوبُعدی تقلیل بدیم: تصور کنید دایره‌ای داریم و می‌خوایم 3 نقطه بر محیطش انتخاب کنیم. احتمال اینکه مثلثِ حاصل از این 3 نقطه، مرکزِ دایره رو هم شامل بشه چه‌قدره؟
با اینکه حالا تجسمش برامون راحت‌تر شده ولی کماکان سوال سختیه. آیا راهی وجود داره تا حتی این سوال رو هم بشه ساده‌تر کرد؟

خب، بیایم و 2 تا از اون 3 نقطه رو فیکس کنیم؛ نقطۀ سوم باید کجا باشه تا مثلث حاصل، مرکز رو برامون دربربگیره؟ متوجه میشیم کمانِ خاصی از دایره وجود داره که اگه فقط نقطۀ سوم اون‌جا باشه به جواب می‌رسیم در غیر این صورت مرکز دایره از مثلث می‌زنه بیرون. اون کمان کجاست؟

photo_2023-02-13_14-12-40_5guw.jpg

اگر از هر یک از اون نقاطِ فیکس شده، قطر دایره رو رسم کنیم، اون کمان پیدا میشه. یه جورایی انگار آینه ساختیم.
حالا داریم به یه جاهایی می‌رسیم! خب احتمال اینکه نقطۀ سوم روی اون کمانه باشه چه‌قدره؟ می‌دونیم تمام نقاط روی دایره نقاط یکسانی هستن و احتمال انتخابشون هم کاملاً یکیه، پس اگر طول اون کمان رو پیدا کنیم و به طول محیط دایره تقسیم کنیم، احتمال پیدا میشه. اما طول اون کمان چه‌قدره؟ خب این سوال کاملاً بستگی به محل قرارگیری دو نقطۀ اول داره. به عنوان مثال اگه اون دو نقطه مطابق شکل زیر فیکس بشن، طول کمان مدنظر ما یک چهارم کل محیط خواهد بود و احتمال میشه 0.25 .

photo_2023-02-13_14-19-22_u6rc.jpg

هرچه‌قدر اون دو نقطه از همدیگه دور بشن، کمان آبی رنگ طولش بیشتر و بیشتر میشه و احتمال به 0.5 میل می‌کنه و برعکس هرچه‌قدر اون دو نقطه به هم نزدیک و نزدیک‌تر بشن، تقریباً کمانی باقی نمی‌مونه و احتمال به صفر میل می‌کنه. دو نقطه رو رندوم انتخاب کردیم و تمام نقاط روی دایره هم حق انتخابشون یکسانه، میانگین سایز تمام کمان‌هایی که به‌دست میان چه‌قدره؟ با کمی دقت و فکر، میشه فهمید متوسط تمامی این حالت‌ها، عدد 0.25 عه.

حالا بیایم و حالت سه‌بعدیش رو متجسم بشیم. 3 تا از نقاط رو فیکس کنیم و ببینیم نقطۀ چهارم کجا باید باشه تا چهاروجهی حاصل، مرکز کره رو دربربگیره. مثل قبل، بیایم و قطرهایی از اون 3 نقطه که طبیعتاً باید از مرکز بگذرن رسم کنیم. فرقی که این حالت با حالت قبل داره اینه که در دوبعد، کارمون با همون خطوط راه می‌افتاد چون به دنبال کمان می‌گشتیم، اما این‌جا چون به دنبال سطح هستیم، لازمه صفحاتی رو که از این قطرها می‌گذرن و شامل نقطه‌هه و مرکز کره میشن رسم کنیم. کاری که ترسیم این صفحات می‌کنن، اینه که سطح کره رو به 8 پارت متفاوت تقسیم می‌کنن. هر پارت شبیه به یک مثلثِ کروی هستن.

photo_2023-02-13_14-39-10_pv24.jpg

متوجه میشیم چهاروجهی فقط در صورتی می‌تونه مرکز کره رو شامل بشه که نقطۀ چهارم در مثلث کرویِ مقابل به مثلث‌هایی که سه نقطۀ قبلی در اون حضور داشتن قرار بگیره. برخلاف مدل دوبعدی که بحث شد، تخمین سایز میانگین این مثلث‌های کروی کار دشواریه. میشه از انتگرال سطح کمک گرفت اما حتی اونم کار آسونی نیست.

بیایم دوباره برگردیم به همون مدل دوبعدی. جوابی که در اون‌جا به‌دست آوردیم 0.25 یا یک‌چهارم شد. این "چهار" از کجا میاد؟
دیدیم که اومده بودیم 2 نقطه رو فیکس کردیم و بعد دو قطر رسم کردیم و به دنبال کمان روبه‌روش بودیم تا نقطۀ سوم رو در اون قرار بدیم. میشه این‌جوری هم به این سوال نگاه کرد، که اومدیم دو قطر مختلف از دایره رو رسم کردیم، و هر قطر شامل 2 نقطه از محیط دایره ست که ما با یکیش به طور تصادفی کار داریم، انگار که واسه انتخابش سکه پرت می‌کنیم و یه دونه‌ش رو انتخاب می‌کنیم تا در نهایت به 2 نقطۀ دلخواهمون برسیم. نقطۀ سوم رو هم تصادفی روی محیط دایره انتخاب می‌کنیم، ولی بیایم تصور کنیم که این کار رو قبل از سکه پرت کردنه انجام دادیم، یعنی اول نقطۀ سومی فرض کردیم، و حالا به دنبال حالاتی می‌گردیم که با کمک اون دو نقطه، مثلثه مرکز دایره رو دربربگیره. می‌دونیم که 4 حالت کلاً برای اون 2 نقطه وجود داره، ولی فقط در یک حالت هست که به جوابمون دست پیدا می‌کنیم.

photo_2023-02-13_15-04-28_tbq2.jpg

مهم نیست اون دو قطر رو چه‌طور رسم کردیم، مهم نیست که نقطۀ سوم رو کجا گذاشتیم، همیشه فقط یکی از اون 4 حالتِ تصادفی انتخاب کردنِ نقطۀ اول و دوم هست که مثلثه رو شاملِ مرکز دایره می‌کنه.

برگردیم به مدل سه‌بعدی؛ به جای انتخاب 4 نقطۀ تصادفی، 3 قطرِ تصادفی از کره رسم می‌کنیم، و سپس نقطۀ چهارم رو هم تصادفی در جایی روی سطح کره قرار میدیم. دوباره، هر قطر شامل 2 نقطه روی سطح کره ست و ما با یکیش کار داریم و می‌تونیم واسه انتخابش سکه بندازیم تا کدومو برداریم. 8 حالت مختلف ایجاد میشه برای اون نقاط، اما فقط در یک حالت هست که نقطۀ اول و دوم و سوم در سمت مخالفِ نقطۀ چهارم با مرکز قرار می‌گیرن. پس فقط یکی از این هشت حالت، به ما چهاروجهی‌ای رو میده که مرکز کره رو شامل میشه.

photo_2023-02-13_15-09-43_yq57.jpg


photo_2023-02-13_15-44-49_1tar.jpg

مدل تعمیم‌یافتۀ این سوال هم با کمک جبر خطی حل میشه.
 
  • شروع کننده موضوع
  • #7
ارسال‌ها
1,546
امتیاز
26,893
نام مرکز سمپاد
ضروری
شهر
ضروری
سال فارغ التحصیلی
0
قطعاً اینو شنیدید که میگن هیچ فرمولی برای یافتن اعداد اول وجود نداره، خب این تقریباً هم درسته هم غلط!
در سال 1964، فردی به نام C.P. Willans این فرمول غول‌آسا رو برای یافتن n امین عددِ اول پیدا کرد:

1_one.png

پنیک نکنید، بیاید تا این گنده‌بک رو به قطعات ریزتری تقسیم و تحلیلش کنیم.
مشخصه که اجزای این فرمول همگی از نکات بیسیک ریاضی و مثلثاتی که باهاشون آشنا هستیم تشکیل شدن؛ فرمول سیگما، تابع جزء صحیح، کسینوس، فاکتوریل و حتی عدد پی. هیچ‌کدوم ربطی به اعداد اول ندارن، اما باور کنید که این ماشین براتون عدد اول تولید می‌کنه. بهش 1 بدید، بهتون 2 تحویل میده، نخستین عدد اول. بهش 4 بدید، بهتون 7 تحویل میده، چهارمین عدد اول. بهش 1000 بدید، بهتون 7919 تحویل میده، هزارمین عدد اول! فوق‌العاده‌ست، نه؟ این چه جمبل و جادوییه؟
قطعاً باید یه ترفندی تو کار باشه چون اعداد اول هیچ قاعده‌ای ندارن و به طور کاملاً رندوم بین اعداد طبیعی پخش شدن و نباید فرمولی داشته باشن. از طرف دیگه اگه شما این فرمول رو توی زبان برنامه‌نویسی موردعلاقه‌تون کدنویسی کنید واقعاً بهتون عدد اول میده منتها در مقادیر کمِ n این کار رو سریع انجام میده و در مقادیر بیشتر سرعتش کند میشه و این خودش نشانی از کاریه که در عمل این فرمول داره انجام میده.

خب بیایم بررسی کنیم که داره چه غلطی می‌کنه.
اول بریم سراغ درونی‌ترین لایه، یعنی (جِی منهای 1)فاکتوریل. چیز خاصی نیست، عدد طبیعی میدی، یکی کم می‌کنه و بعد متوالیاً در اعداد طبیعی ماقبلش تا برسه به 1 ضرب می‌کنه که همون مفهوم فاکتوریله. ویلنز گفته به این مقدار یکی اضافه کنین و حاصل رو تقسیم بر جی کنین. به عنوان مثال اگه جی رو 5 درنظر بگیریم، 4فاکتوریل میشه 24، یکی اضافه کنیم میشه 25، حاصل رو بر 5 تقسیم کنیم میشه 5. اگه جی رو 6 درنظر بگیریم، 5فاکتوریل میشه 120، یکی اضافه کنیم میشه 121، و حاصل تقسیم بر 6 یه عدد کسری میشه. بیایم و یه جدول مقادیر واسه چن ورودی مختلف از 1 تا 11 براش بنویسیم:

2_2idk.png

متوجه الگوی خاصی شدید؟ وقتی جی عدد اول (بجز یک) باشه، حاصل همیشه عدد صحیحه، و در غیر این صورت عددی ناصحیح. و این همون راز درون فرمول ویلنزه. الگوریتمی که اعداد اول رو برامون پیدا می‌کنه. این در واقع چیزی نیست جز همون قضیهٔ ویلسون، که در ریاضیات گسستهٔ دبیرستان باهاش آشنا شدیم و میگه اگر p (یا در این‌جا همون j خودمون) عددی اول باشه، !(p-1) به پیمانهٔ p همیشه منفی یک میشه. یا به عبارت دیگه، جی منهای یک فاکتوریل رو اگه علاوۀ یک کنیم، اگر جی عددی اول یا خودِ 1 باشه همواره بر جی بخش‌پذیره. این یعنی ما یک prime number detector ساختیم! حالا چطور می‌تونیم یک «شناساگر اعداد اول» رو تبدیلش کنیم به یک «مولّد اعداد اول»؟

راه کمترخلاقانه‌ای که براش وجود داره اینه که مثلاً اگر بخوایم 4 امین عدد اول رو پیدا کنیم، باید بگردیم ببینیم توی این سری، چهارمین عدد صحیحی که بعد از 1 تولید میشه چیه و همون‌جا توقف کنیم و بگیم آها پیداش کردیم. کاری که ویلنز انجام داده اینه که این راه غیرهوشمندانه رو هوشمندانه‌ش کرده. چون خب برنامه‌نویسا می‌تونستن همین فرمول رو هم استفاده کنن و یه لوپ تشکیل بدن و بگردن دونه دونه چک کنن. ولی اگه ما زبان برنامه‌نویسی در اختیارمون نباشه چی؟ ویلنز با کمک ریاضیاتِ دم دستی تونست این کارو بکنه.

اول لازمه prime detector مون رو کمی تغییر بدیم. اگر به شکل زیر درش بیاریم بهتر میشه و کار باهاش آسون‌تره:

3_0t5a.png

واسه اینکه بخوایم اعداد صحیح رو به 1 و اعداد ناصحیح رو به 0 تبدیل کنیم، باید integer detector وارد عمل کنیم. حالا چه جور تابعی می‌تونه چنین کاری برامون انجام بده؟ اگه برگردیم به فرمول ویلنز، می‌بینیم که چه اتفاقی بعدش می‌افته. قدم بعدی، اینه حاصلِ اون کسر ویلسون رو در پی ضرب کرده و ازش کسینوس گرفته. نمودار تابع کسینوس پی‌ایکس رو اگر رسم کنیم، می‌بینیم که به ازای مقادیر صحیح ایکس، به اکسترمم خودش یعنی 1 و 1- می‌رسه و در سایر موارد مقداری بین این دو عدد هستش. بیایم و تابع رو بازنویسی کنیم:

4_6gcl.png

واسه اینکه از شر منفی خلاص شیم، اومده تابع رو به توان 2 رسونده. این‌طوری هم 1- همیشه به 1+ تبدیل شده، هم اینکه مقادیر بین 1- تا 1+ به مقادیر بین 0 تا 1 تبدیل شده و حالا اگر ازش جز صحیح بگیریم، می‌رسیم به همون چیزی که می‌خوایم!

5_ucjj.png

حالا کافیه که تعداد این 1 ها رو بشماریم. اگر از جی مساوی 1 تا هر مقداری که مدنظرمونه سیگما بگیریم، حاصل، میشه تعداد اعداد اولی که در اون بازه وجود داره، به اضافۀ 1 (چون داره خود 1 رو هم برامون می‌شمره). به عنوان مثال از جی مساوی 1 تا 10 رو ببینید چه اتفاقی می‌افته:

6_bddv.png

ولی خب ما که نیومدیم فقط تعداد اعداد اول در یک بازه رو پیدا کنیم، اومدیم nامین عدد اولو پیدا کنیم. می‌دونیم از 1 تا 10، چهارتا عدد اول وجود داره، ولی چهارمین عدد اول چیه؟ خب این تابع معکوس چیزیه که ما این‌جا داریم. ایده‌ش اینه که یعنی اگه ما دنبال چهارمین عدد اول می‌گردیم، باید پیوسته بپرسیم آیا تعداد اعداد اول قبل از فلان عدد، کمتر از 4عه یا نه؟ تعداد اعداد اول قبل از 1 از 4 کمتره، قبل از 2 از 4 کمتره، قبل از 3 از 4 کمتره، قبل از 4 از 4 کمتره و ... تا می‌رسیم به جایی که جواب خیر میشه و درست همون‌جایی خیر میشه که به چهارمین عدد اول رسیده باشیم. پس سایر فرمول ویلنز داره همین کار رو می‌کنه، که آیا تعداد اعداد اول ماقبل آی، از n کمتر است؟ (به ازای i متغیر) . و خب این زمانی به خیر تبدیل میشه که ما به n امین عدد اولمون رسیده باشیم. پیچیده که نیست، نه؟

7_xdt.png

بقیۀ کار نیاز به کمی مهندسی داره. در قسمت بعدی فرمول ویلنز، میایم و حاصل n تقسیم بر اون ماشین یابندۀ تعداد اعداد اول رو بدست میاریم و بعد کل چیزی که حاصل شده رو به توان یک تقسیم بر n می‌رسونیم. در این‌جا n مقدار ثابت ماست، ولی فهمش برامون ساده‌تر میشه اگر i رو ثابت نگه داریم و n رو تغییر بدیم. آی رو همون 10 فرض بگیرید. می‌دونیم که 4 تا عدد اول قبلش وجود داره، پس ماشین برامون 5 تولید می‌کنه. نمودار تابع «ایکس پنجم به توان یک ایکسم» رو رسم می‌کنیم و بعد ازش جز صحیح می‌گیریم. نقطۀ پیکش پس از جز صحیح گرفتن، 1 عه. ببینیم کجا به 1 می‌رسه. درست وقتی که ایکس به 5 می‌رسه. منطقی هم هست چون اگه 5 بذاریم حاصل میشه 1 به توان یک پنجم که همون 1 عه. به ازای مقادیر بعد از 5 هم ظاهرا نمودار داره بالاتر میره ولی این‌طور نیست و وقتی به ماکزیمم خودش رسید میاد پایین. معنیش اینه اگه جز صحیح بگیریم، به ازای اعداد طبیعی بیشتر از 4، 1 به دست میاریم و به ازای اعداد طبیعی کمتر مساوی 4، 0 به دست میاریم.

8_fvw3.png

میشه تعمیمش هم داد. و خب این «4» ای که قرار دادیم، همون تعداد اعداد اول قبل از 10 عه و می‌تونیم به جای 10، متغیر i رو بگذاریم، و سپس به تابع دوضابطه‌ای زیر برسیم:

9_v6p9.png

دقیقاً داره به پرسشی که ما مطرحش کردیم به عنوان تابع معکوس، جواب میده: آیا تعداد اعداد اول قبل از آی، کمتر از n عه؟ تو فرمول ویلنز هم n ثابت بود و i تغییر می‌کرد. این سوال، درست عین اینه که بپرسیم آیا n امین عدد اول، بزرگتر از i عه؟ مثال بزنیم تا برامون واضح‌تر بشه:
آی رو همون 10 در نظر بگیریم، ماشین پایین بهمون 5 تحویل میده. توی ضابطۀ نماییِ نهایی، وقتی جز صحیح بگیریم، اگر n پنج یا بیشتر باشه 1 به دست میاریم (تعداد اعداد اول قبل از 10، چار تاست) و اگر n برابر 4 یا کمتر باشه، خروجیمون 0 عه. حالا معادل‌سازی کنیم؛ پنجمین عدد اول، قطعاً از 10 بیشتره! یا میشه گفت n امین عدد اول قطعاً از i بزرگ‌تره. حالا بیایم بازنویسی کنیم و روی i تمرکز کنیم چون قراره i تغییر کنه نه n.

10_j0fl.png

این یک ماشینِ یابندۀ تموم i هاییه که از n امین عدد اول کمتر هستن. حالا در قدم نهایی، میایم و تمام این i ها رو از 1 تا 2 به توان n جمع می‌زنیم. مثال:
اگر n = 4 باشه، می‌ذاریم i از 1 تا 16 تغییر کنه. برای هر آی که از چهارمین عدد اولمون کمتر باشن، یه 1 تحویل می‌گیریم. زمانی که به 7 برسیم، دیگه 0 تحویل می‌گیریم. جمعشون میشه 6، که یکی کمتر از 7 یا همون چهارمین عدد اول ماست.

11_n84i.png

حالا سوالی که پیش میاد اینه که چرا تا 16 باید پیش بریم؟ این 2 به توان n صرفاً نوعی گارانتیه تا خیالمون راحت باشه دیگه 1 به دست نمیاریم و من‌بعد 0 تحویل می‌گیریم. چون نمی‌دونیم n امین عدد اول چقدره و تا کجا باید پیش بریم. در نظریۀ اعداد، اصل برتراند میگه برای هر عدد طبیعی بزرگتر مساوی 2، عدد اولی مانند p هست به طوری که p بین n و 2n واقع شده. یعنی عدد اولی بین 2 و 4 هست (3)، عدد اولی بین 4 و 8 هست (5)، عدد اولی بین 8 و 16 هست (11) و ... . چون 2 خودش اوله، اصل برتراند تضمین می‌کنه n تا عدد اول بین 1 تا 2 به نمای n موجوده. پس n امین عدد اول قطعاً از 2 به نمای n کمتره. در واقعیت هم n امین عدد اول خیلی کوچیک‌تر از 2 به نمای n عه، ولی خب ویلنز براش این گپِ بزرگ که محاسبه رو طولانی می‌کرد اهمیت نداشت.

در نهایت هم مشخصه که چرا به علاوۀ یک می‌کنیم.

خب بچه‌ها! ما یک فرمول برای به دست اوردن n امین عدد اول پیدا کردیم! ولی ریدیم، چرا؟ چون این فرمول به هیچ عنوان کارامد نیست و خیلی محاسبات سنگینی احتیاجه، عین بروت فورس می‌مونه.
 
بالا