اثبات قانون دوم نیوتن

[Iman Rage]

سلام
اگر مشتق مکان نسبت به زمان را v بنامیم و به آن سرعت بگوییم.
و اگر مشتق سرعت نسبت به زمان را aبنامیم و به آن شتاب بگوییم.
و به مشتق پتانسیل نسبت به مکان، نیرو بگوییم و آن را F بنامیم.
اثبات کنید که F=ma که در آن m جرم ذره ای است که نیروی F به آن وارد گشته است.

 

[D3runk3n]

سلام
اگر مشتق مکان نسبت به زمان را v بنامیم و به آن سرعت بگوییم.
و اگر مشتق سرعت نسبت به زمان را aبنامیم و به آن شتاب بگوییم.
و به مشتق پتانسیل نسبت به مکان، نیرو بگوییم و آن را F بنامیم.
اثبات کنید که F=ma که در آن m جرم ذره ای است که نیروی F به آن وارد گشته است.

پتانسیل رو تعریف کن اول!

 

[Iman Rage]

پتانسیل رو تعریف کن اول!

پتانسیل تعریف مستقل داره.فعلا برای اثبات قانون دوم نیوتن بهش احتیاج ندارید.

http://s8.picofile.com/file/8356340200/۲۰۱۹۰۴۰۱_۲۰۴۷۱۴.jpg
درسته

تز نظر ریاضی خیر درست نیست مسیر حلتون اما رابطه ای که اثبات کردید ma=ma هست نه قانون دوم

 

[Reihaneh.M]

سلام
اگر مشتق مکان نسبت به زمان را v بنامیم و به آن سرعت بگوییم.
و اگر مشتق سرعت نسبت به زمان را aبنامیم و به آن شتاب بگوییم.
و به مشتق پتانسیل نسبت به مکان، نیرو بگوییم و آن را F بنامیم.
اثبات کنید که F=ma که در آن m جرم ذره ای است که نیروی F به آن وارد گشته است.

این سوال در چه مقطعی پرسیده شده؟ دانشگاه؟ دبیرستان؟
اگر سوال دانشگاهی هست، مثلا یک راهش نوشتن لاگرانژی و بعد استفاده از اصل کمترین کنش و رسیدن به معادله اویلره که ازش معادله نیوتون در میاد. توی اکثر کتابای فیزیک تحلیلی هست چنین چیزی.
اگر در مقطع دبیرستانه، یک آنالیز ابعاد کافیه. طرف راست معادله شتاب جرم بر مجذور زمانه. طرف چپ معادله، F مشتق مکانی پتانسیل هست، و پتانسیل واحدش انرژیه. پس واحد نیرو میشه انرژی بر مکان. اما خود انرژی طبق معادله E=mc^2 بعدش هست جرم در مجذور مکان بر مجذور زمان، پس مشتق مکانیش که همون نیرو هست میشه جرم در مکان بر مجذور زمان. بخش مکان بر مجذور زمان رو طرف راست معادله داریم که همون شتابه، پس m باید بعدش جرم باشه که دو طرف معادله ابعادشون باهم بخونه. راه دیگشم نوشتن معادله پایستگی انرژی مکانیکی و مشتق زمانی گرفتن از دو طرف معادلست، E که مجموع انرژی پتانسیل و انرژی جنبشیه مشتقش نسبت به زمان صفر میشه و ازاون ور با استفاده از قاعده زنجیره ای و تبدیل مشتق زمانی به مشتق مکانی میشه نشون داد که مشتق پتانسیل میشه مشتق تکانه بر حسب زمان که باز همون معادله نیوتونه. یحتمل راه های دیگه ای هم باید باشه.

 

[Iman Rage]

این سوال در چه مقطعی پرسیده شده؟ دانشگاه؟ دبیرستان؟
اگر سوال دانشگاهی هست، مثلا یک راهش نوشتن لاگرانژی و بعد استفاده از اصل کمترین کنش و رسیدن به معادله اویلره که ازش معادله نیوتون در میاد. توی اکثر کتابای فیزیک تحلیلی هست چنین چیزی.
اگر در مقطع دبیرستانه، یک آنالیز ابعاد کافیه. طرف راست معادله شتاب جرم بر مجذور زمانه. طرف چپ معادله، F مشتق مکانی پتانسیل هست، و پتانسیل واحدش انرژیه. پس واحد نیرو میشه انرژی بر مکان. اما خود انرژی طبق معادله E=mc^2 بعدش هست جرم در مجذور مکان بر مجذور زمان، پس مشتق مکانیش که همون نیرو هست میشه جرم در مکان بر مجذور زمان. بخش مکان بر مجذور زمان رو طرف راست معادله داریم که همون شتابه، پس m باید بعدش جرم باشه که دو طرف معادله ابعادشون باهم بخونه. راه دیگشم نوشتن معادله پایستگی انرژی مکانیکی و مشتق زمانی گرفتن از دو طرف معادلست، E که مجموع انرژی پتانسیل و انرژی جنبشیه مشتقش نسبت به زمان صفر میشه و ازاون ور با استفاده از قاعده زنجیره ای و تبدیل مشتق زمانی به مشتق مکانی میشه نشون داد که مشتق پتانسیل میشه مشتق تکانه بر حسب زمان که باز همون معادله نیوتونه. یحتمل راه های دیگه ای هم باید باشه.

اینکه از نظر ابعاد طبق E=mc^2
مطابقت دارند قابل قبوله.برای دیگر مواردی که به عنوان اثبات پیشنهاد دادید.یک اثبات دقیق ریاضیاتی،ارائه دهید

 

[Zetsubou Shinji]

مطمئن نیستم چقدر درست باشه و آیا طبق صورت مسئله، مجازیم از لاگرانژی و همیلتونی استفاده کنیم یا نه، ولی به هرحال:

برحسب لاگرانژی:
http://s9.picofile.com/file/8356380534/IMG_۲۰۱۹۰۴۰۲_۱۴۴۳۳۶.jpg

برحسب همیلتونی:
http://s9.picofile.com/file/8356380592/IMG_۲۰۱۹۰۴۰۲_۱۴۴۴۳۷.jpg

اما فکر نمیکنم این راه حل، چندان بنیادی باشه. تا جایی که من میدونم، قانون دوم یجور اصل موضوعه و بنیادی تجربی در مکانیک نیوتونیه و تعاریف انرژی و لاگرانژی و...بعدش اومدن. در واقع این اثبات، بنظر دوریه(واقعا اثبات نیست)، چون از رابطه انرژی جنبشی استفاده کردم که خودش برحسب تکانه، و تکانه هم برحسب نیرو(قانون دوم)، بدست میاد:
http://s9.picofile.com/file/8356380634/IMG_20190402_144452.jpg
http://s8.picofile.com/file/8356380668/IMG_20190402_144458.jpg

 

[Reihaneh.M]

اینکه از نظر ابعاد طبق E=mc^2
مطابقت دارند قابل قبوله.برای دیگر مواردی که به عنوان اثبات پیشنهاد دادید.یک اثبات دقیق ریاضیاتی،ارائه دهید

(E=1/2mv^2 + V(x
از دو طرف مشتق زمانی میگیریم که ترم انرژی جنبشی میشه
mva، و ترم V که پتانسیل هست چون تابعی از ایکسه، باید با قاعده زنجیره ای مشتق رو از زمان برداریم از روش بندازیم رو مکان، پس ضرب در یک dx/dt میکنیم این V رو و برحسب ایکس مشتق میگیریم. پس میشه مشتق مکانی V ضربدر v که سرعت باشه. چون dx/dt همون v هست. طرف چپم صفر میشه چون ثابته. پس داریم mva=-V'v که سرعت رو از دو طرف خط بزنیم میرسیم به رابطه نیوتون. البته من خیلی ساده سازی کردم و اینا، مثلا ممکنه خود پتانسیل تابعی از زمان باشه اصلا، ولی بهرحال همین که جواب سوال رو میده فکر کنم بس باشه. توی جایی که پتانسیل وابسته به زمان هست، E هم وابسته به زمان میشه و باید فرمول پایستگی انرژی کل که درون هدر رفت انرژی هم در نظر گرفته میشه رو استفاده کرد و مشتق گرفت، احتمالا.
روش لاگرانژی هم نوشتن زیاد داره، حالشو ندارم. ضمن اینکه همونطور که گفتم هر کتاب فیزیک تحلیلی استانداردی بهش پرداخته مثل فولز، که قابل پیدا کردن در خود اینترنت هم هست، پس نوشتنش کار اضافیه.

 

[Reihaneh.M]

مطمئن نیستم چقدر درست باشه و آیا طبق صورت مسئله، مجازیم از لاگرانژی و همیلتونی استفاده کنیم یا نه، ولی به هرحال:

برحسب لاگرانژی:
http://s9.picofile.com/file/8356380534/IMG_۲۰۱۹۰۴۰۲_۱۴۴۳۳۶.jpg

درسته ولی اگه من استاد دانشگاهی چیزی بودم میگفتم زرنگی؟ علم غیب داشتی تو معادله اویلر لاگرانژی بزاری برسی به معادله نیوتون؟
از جنبه تاریخی که اثبات معادله نیوتون با لاگرانژی کار خنده داری هست، چون اول معادله نیوتون بوده بعدا لاگرانژی همیلتونی اینا اومدن روی کار. اما با توجه به این که اصل کمترین کنش یک اصل کاملا جدا از مکانیک نیوتونی هست، به شکلی که در تمام فیزیک این اصل پاسخگوه (بله نسبیت عام و خاص، کوانتوم فیلد تئوری و ...) با استفاده از اصل کمترین کنش رسیدن به معادله نیوتون اونقدر هم کار پرتی نیست. یعنی به نظرم اگه یکی برداره اول با اصل کمترین کنش برسه به معادله اویلر و بعد بگه با انتخاب لاگرانژی به اون صورت، میرسیم به معادله نیوتون، کار خیلی مسخره ای نکرده. بهرحال همش بر میگرده به کسی که اون سوال رو کرده و هدفش از سوال. تا جایی که من میدونم این معادله نیوتون رو ما به عنوان اصل دوم نیوتون پذیرفتیم و نرفتیم ببینیم خودش از کجا درومده. ولی اثبات کردن مستقیمش شاید کار جالبی باشه، هرچند الان ایده ای ندارم که چطور.

شاید توی این باشه
http://1fizikdan.ir/1393/05/10/دانلود-مکانیک-کلاسیک-فولز-و-اریا
نبود شاید توی گریفیث یا سایمن باشه.

 

[Zetsubou Shinji]

درسته ولی اگه من استاد دانشگاهی چیزی بودم میگفتم زرنگی؟ علم غیب داشتی تو معادله اویلر لاگرانژی بزاری برسی به معادله نیوتون؟
از جنبه تاریخی که اثبات معادله نیوتون با لاگرانژی کار خنده داری هست، چون اول معادله نیوتون بوده بعدا لاگرانژی همیلتونی اینا اومدن روی کار. اما با توجه به این که اصل کمترین کنش یک اصل کاملا جدا از مکانیک نیوتونی هست، به شکلی که در تمام فیزیک این اصل پاسخگوه (بله نسبیت عام و خاص، کوانتوم فیلد تئوری و ...) با استفاده از اصل کمترین کنش رسیدن به معادله نیوتون اونقدر هم کار پرتی نیست. یعنی به نظرم اگه یکی برداره اول با اصل کمترین کنش برسه به معادله اویلر و بعد بگه با انتخاب لاگرانژی به اون صورت، میرسیم به معادله نیوتون، کار خیلی مسخره ای نکرده. بهرحال همش بر میگرده به کسی که اون سوال رو کرده و هدفش از سوال. تا جایی که من میدونم این معادله نیوتون رو ما به عنوان اصل دوم نیوتون پذیرفتیم و نرفتیم ببینیم خودش از کجا درومده. ولی اثبات کردن مستقیمش شاید کار جالبی باشه، هرچند الان ایده ای ندارم که چطور.

شاید توی این باشه
http://1fizikdan.ir/1393/05/10/دانلود-مکانیک-کلاسیک-فولز-و-اریا
نبود شاید توی گریفیث یا سایمن باشه.

معادله اویلر لاگرانژ از اصل کمترین کنش بدست میاد. اما فکر نمیکنم هدف این تاپیک، اثبات این معادله باشه.

در روند اصلی، ما ابتدا با اصل کمترین کنش میرسیم به معادله اویلر لاگرانژ و بعد با انتخاب لاگرانژی بصورت انرژی جنبشی منهای پتانسیل، همون مسیری که نوشتم رو انجام میدیم.

اما اگه بخش اخر پستمو میخوندید، میدیدید که نوشته بودم که این واقعا اثبات نیست و دوریه(یا اونطوری که ترجیح میدید، خنده دار!). همین مرحله "انتخاب لاگرانژی به اون صورت"، مستلزم دونستن انرژی جنبشی، انرژی جنبشی مستلزم تکانه و تکانه هم مستلزم نیرو هست(طبق قانون دوم). انتخاب لاگرانژی به این شکل، خودش با قانون دوم میسره!

و بازهم همونطور که هم من گفتم هم خودتون در این پست، قانون دوم یه اصل بنیادی و تجربیه. یه اثبات منحصرا ریاضیاتی در مکانیک نیوتونی نداره، بلکه پیشفرض تجربی و مفهومی اولیه ست. اثبات نمیشه.

 

[Reihaneh.M]

معادله اویلر لاگرانژ از اصل کمترین کنش بدست میاد. اما فکر نمیکنم هدف این تاپیک، اثبات این معادله باشه.

در روند اصلی، ما ابتدا با اصل کمترین کنش میرسیم به معادله اویلر لاگرانژ و بعد با انتخاب لاگرانژی بصورت انرژی پتانسیل منهای جنبشی، همون مسیری که نوشتم رو انجام میدیم.

اما اگه بخش اخر پستمو میخوندید، میدیدید که نوشته بودم که این واقعا اثبات نیست و دوریه(یا اونطوری که ترجیح میدید، خنده دار!). همین مرحله "انتخاب لاگرانژی به اون صورت"، مستلزم دونستن انرژی جنبشی، انرژی جنبشی مستلزم تکانه و تکانه هم مستلزم نیرو هست(طبق قانون دوم). انتخاب لاگرانژی به این شکل، خودش با قانون دوم میسره!

و بازهم همونطور که هم من گفتم هم خودتون در این پست، قانون دوم یه اصل بنیادی و تجربیه. یه اثبات منحصرا ریاضیاتی در مکانیک نیوتونی نداره، بلکه پیشفرض تجربی و مفهومی اولیه ست. اثبات نمیشه.

بله همینطوره:)

 

[Iman Rage]

ممنون از هر دوتون. فکر می کنم اصل کمترین کنش یک اثبات خیلی خوب و مستقل واسه قانون دوم باشد.
قانون نیاز به اثبات دارد! اصل را بدون اثبات می پذیریم.(تا جاییکه کار کنه).پس قانون، اصل نیست.

 

[Reihaneh.M]

قانون نیاز به اثبات دارد! اصل را بدون اثبات می پذیریم.(تا جاییکه کار کنه).پس قانون، اصل نیست.

حرف شما درسته قانون اصل نیست و به خاطر همین من این صفحه ویکی رو کامل خوندم برای اطمینان بیشتر: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Newton% ... _of_motion
جالب اینه که نیوتون خودش این هارو در کتاب Mathematical Principles of Natural Philosophy آورده که principles یعنی اصول، و قانون ترجمش نیست. با این حال ازون طرف ما اینارو به عنوان قانون یاد میکنیم، پس بالاخره اصل هستند یا قانون؟ در مورد قانون سوم میشه گفت تجربه نشون دهنده چنین قانونی هست، پس مشکلی نیست. در مورد قانون دوم نیوتون، شاید بشه به کارایی کرد، اما اولی رو فکر نکنم هیچ جوره بشه ثابت کرد چون بدیهیه، و چیزی که بدیهیه رو به عنوان آکسیوم یا اصل فرض میکنن نه قانون، پس چرا بهش میگیم قانون اصلا؟

 

[Reihaneh.M]

حرف شما درسته قانون اصل نیست و به خاطر همین من این صفحه ویکی رو کامل خوندم برای اطمینان بیشتر: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Newton% ... _of_motion
جالب اینه که نیوتون خودش این هارو در کتاب Mathematical Principles of Natural Philosophy آورده که principles یعنی اصول، و قانون ترجمش نیست. با این حال ازون طرف ما اینارو به عنوان قانون یاد میکنیم، پس بالاخره اصل هستند یا قانون؟ در مورد قانون سوم میشه گفت تجربه نشون دهنده چنین قانونی هست، پس مشکلی نیست. در مورد قانون دوم نیوتون، شاید بشه به کارایی کرد، اما اولی رو فکر نکنم هیچ جوره بشه ثابت کرد چون بدیهیه، و چیزی که بدیهیه رو به عنوان آکسیوم یا اصل فرض میکنن نه قانون، پس چرا بهش میگیم قانون اصلا؟

کسی جواب اینو میدونه؟

 

[Iman Rage]

کسی جواب اینو میدونه؟

فکر کنم هم قانون اول هم قانون دوم از اصول فیزیک کوانتوم اثبات میشن

 

[Reihaneh.M]

فکر کنم هم قانون اول هم قانون دوم از اصول فیزیک کوانتوم اثبات میشن

من نمیدونم، شما پیشنهاد دادید که میشه. پس باید توضیح بدید که چطور. تا جایی که من میدونم چهار پنجتا اصل بیشتر نداره کوانتوم که هیچ کدوم دستکم ارتباط مستقیمی با قوانین نیوتون ندارند.

 

[Reihaneh.M]

اگه میشه توضیح بدین که منم متوجه بشم:)

 

[Iman Rage]

مشاهده پیوست 857

 

[Reihaneh.M]

ببینید همه چیز تا خط یکی مونده روابط به آخر درسته. در خط یکی مونده به آخر اومدید جای مشتق زمانی سای و سای استار، مقادیری که معادله شرودینگر پیشنهاد میده رو جای گذاری کردید که مشکلی نیست. جمله اول، سوم و چهارم خط یکی مونده به آخری، در واقع حاصل جای گذاری مشتق زمانی سای هست، که بعد از روش یک مشتق مکانی هم گرفته شده و این جملات ساخته شده. جمله دوم و پنجم هم قراره حاصل جایگذاری مشتق زمانی سای استار، با چیزی باشه که معادله شرودینگرش میده اما، گرچه جمله پنجم درسته، جمله دوم رو من متوجه نمیشم که چطوری نوشتید! جمله دوم درواقع (حالا با فراموش کردن ضرایب و اینا) باید میبوده مشتق دوم مکانی سای استار، در مشتق اول مکانی سای، نه چیزی که شما نوشتید (مشتق سوم مکانی سای). تکنیک خاصی زدید روش که مشتق مکانی رو از روی سای استار برداشتید، تازه انداختید روی سای، بعد جوری این مشتق رو انتقال دادید که شده مشتق سوم، نه ضرب مشتق دوم در مشتق اول؟ یا من جا به جا متوجه جملات شما شدم؟ بهرصورت باید اثری از مشتق مکانی سای استار باشه تو معادلتون که نیست.

اما اینا به کنار نتیجه گیریتون درست و قابل تقدیر هست، اما چیز غافل گیر کننده ای نیست. اولا به این چیزی که (تقریبا) بهش رسیدید میگن معادلات اهرنفست https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_theorem که نتایج کاملا طبیعی در کوانتوم محسوب میشه. اونش بخش General example رو ببینید، دقیقا همون چیزیه که شما تلاش کردید اثباتش کنید رو نوشته! اما از دیدن چنین نتیجه ای در کوانتوم نباید غافل گیر بشیم، چون هرچی نباشه معادله شرودینگر چیزی نیست بجز همون معادله پایستگی انرژی ای که من اون بالاتر نوشتم و ازش مشتق زمانی گرفتم! بله معادله شرودینگر هرچند به شکل عملگری درومده و ظاهر معمول همیلتونی رو درش نمیبینیم، اما زمانی که یک معادله ویژه مقداری مینویسیم طبق معادله های همیلتون، 100% باید خیالمون راحت باشه که این با معادله نیوتون سازگاری داره. آخه هرچی نباشه معادلات همیلتون از روی لاگرانژی (اگر اشتباه نکنم با تبدیل لژاندر اون) ساخته شدن، و اصلا در واقع از خود معادلات نیوتون ساخته شدن، پس واضحه باید باهاش سازگار باشند. پس نمیشه با معادله شرودینگر معادله نیوتون رو ثابت کرد، دستکم از جنبه منطقی شما داری دور میزنی.

پ.ن: اوه و نکته دیگه این که علت صفر بودن مشتق زمانی x، بی معنی بودنش نیست. دلیلش این هست که ما پیشاپیش فرض کردیم تحول زمانی بسته موج، در خود سای وارد شده و ایکس رو مستقل از زمان فرض کردیم.

 

[Iman Rage]

ببینید همه چیز تا خط یکی مونده روابط به آخر درسته. در خط یکی مونده به آخر اومدید جای مشتق زمانی سای و سای استار، مقادیری که معادله شرودینگر پیشنهاد میده رو جای گذاری کردید که مشکلی نیست. جمله اول، سوم و چهارم خط یکی مونده به آخری، در واقع حاصل جای گذاری مشتق زمانی سای هست، که بعد از روش یک مشتق مکانی هم گرفته شده و این جملات ساخته شده. جمله دوم و پنجم هم قراره حاصل جایگذاری مشتق زمانی سای استار، با چیزی باشه که معادله شرودینگرش میده اما، گرچه جمله پنجم درسته، جمله دوم رو من متوجه نمیشم که چطوری نوشتید! جمله دوم درواقع (حالا با فراموش کردن ضرایب و اینا) باید میبوده مشتق دوم مکانی سای استار، در مشتق اول مکانی سای، نه چیزی که شما نوشتید (مشتق سوم مکانی سای). تکنیک خاصی زدید روش که مشتق مکانی رو از روی سای استار برداشتید، تازه انداختید روی سای، بعد جوری این مشتق رو انتقال دادید که شده مشتق سوم، نه ضرب مشتق دوم در مشتق اول؟ یا من جا به جا متوجه جملات شما شدم؟ بهرصورت باید اثری از مشتق مکانی سای استار باشه تو معادلتون که نیست.

اما اینا به کنار نتیجه گیریتون درست و قابل تقدیر هست، اما چیز غافل گیر کننده ای نیست. اولا به این چیزی که (تقریبا) بهش رسیدید میگن معادلات اهرنفست https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_theorem که نتایج کاملا طبیعی در کوانتوم محسوب میشه. اونش بخش General example رو ببینید، دقیقا همون چیزیه که شما تلاش کردید اثباتش کنید رو نوشته! اما از دیدن چنین نتیجه ای در کوانتوم نباید غافل گیر بشیم، چون هرچی نباشه معادله شرودینگر چیزی نیست بجز همون معادله پایستگی انرژی ای که من اون بالاتر نوشتم و ازش مشتق زمانی گرفتم! بله معادله شرودینگر هرچند به شکل عملگری درومده و ظاهر معمول همیلتونی رو درش نمیبینیم، اما زمانی که یک معادله ویژه مقداری مینویسیم طبق معادله های همیلتون، 100% باید خیالمون راحت باشه که این با معادله نیوتون سازگاری داره. آخه هرچی نباشه معادلات همیلتون از روی لاگرانژی (اگر اشتباه نکنم با تبدیل لژاندر اون) ساخته شدن، و اصلا در واقع از خود معادلات نیوتون ساخته شدن، پس واضحه باید باهاش سازگار باشند. پس نمیشه با معادله شرودینگر معادله نیوتون رو ثابت کرد، دستکم از جنبه منطقی شما داری دور میزنی.

پ.ن: اوه و نکته دیگه این که علت صفر بودن مشتق زمانی x، بی معنی بودنش نیست. دلیلش این هست که ما پیشاپیش فرض کردیم تحول زمانی بسته موج، در خود سای وارد شده و ایکس رو مستقل از زمان فرض کردیم.

درسته از پایستگی انرژی استفاده می گردد.
و رابطه دوبروی و رایطه انرژی جنبشی که بله به نظر می آید دور دارد!

 

[Reihaneh.M]

رابطه دوبروی و رایطه انرژی جنبشی که بله به نظر می آید دور دارد!

ببخشید ولی متوجه منظورتون نشدم