المپیاد سوالات پيشنهادي المپياد هندسه

[Ario_A]

سه دایره در دو نقطه‌ی A و B همرس‌اند. خطی بر دایره‌های اول و دوم در C و D مماس است. نقطه‌ی دلخواه K بر دایره‌ی سوم قرار دارند. خط CK مجددا دایره‌ی سوم را در L قطع می‌کند.خط DL مجددا دایره‌ی سوم را در M قطع می‌کند.خط CM مجددا دایره‌ی سوم را در N قطع می‌کند. اثبات کنید خط MN از D می‌گذرد.

 

[Ario_A]

نقطه دلخواه P درون مثلث ABC قرار دارد. BP و CP به ترتيب اضلاع AC و AB را در F و E قطع مي كنند.EF دايره محيطي مثلث ABC را در ′B و ′C قطع مي كند (نقطه E بين F و ′B قرار دارد). فرض كنيدP′B و P′C به ترتيب BC را در ′′C و ′′B قطع كنند. ثابت كنيد ′′B′B و ′′C′C روي دايره محيطيمثلث ABC همرسند.

 

[Ario_A]

در مثلث ABC نقاط P و Q روي نيمساز خارجي راس A قرار دارند به طوريكه P و B در يك سمت AC و Qدر سمت ديگر AC قرار دارد. عمود از P بر AB، عمود از Q بر AC را در X قطع مي كند. نقاط ′P و ′Q بهترتيب روي PB و QC قرار دارند به طوريكه X′P = PX و X′Q = QX. نقطه T وسط كمان BC) كمانيكه شامل راس A نيست) از دايره محيطي مثلث ABC مي باشد. ثابت كنيد ′P، ′Q و T همخط هستند اگر و° تنها اگر 90 = QCA ∠+ PBA∠

 

[Ario_A]

در مثلث ABC با زاويه قائمه A، نقطه M وسط ضلع BC است.ଶ در X بر AC مماس مي شود. ωدايره اي است كه از C و M مي گذرد و در Y بر AB مماس مي شود. (X،Y و A در يك طرف ضلعBC قرار دارند.) ثابت كنيد XY از وسط كمان BC) كماني كه شامل راس A نيست)از دايره محيطي مثلث ABC مي گذرد.

 

[Ario_A]

دایره ی محاطͬی مثلث ABC در نقاط F ,E ,D بر اضلاع AB ,CA ,BC مماس است. نقاط Q ,P در داخل زاویه یروی P, D, Q نقاط کنید ثابت .EA ∥ AB ، EQ = EC و F P ∥ AC ، F P = F B که دارند قرار طوری∠ BACیͷ خط قرار دارند

 

[Ario_A]

دو دایره ی متقاطع ٢ω ١,ω در صفحه داده شده اند. فرض کنید AB و CD مماس مشترک خارجͬ این دو دایره باشندY و X در CD با) AB خط جز به (ω١, ω٢ بر M از مماس .بنامید M را AB وسط .)B, D ∈ ω٢ و A, C ∈ ω١)برخورد مͬ کند. اگر I مرکز دایره ی محاطͬ داخلͬ مثلث MXY باشد، ثابت کنید ID = IC

 

[Ario_A]

٣ در مثلث حاده الزاویه ی ABC، H مرکز ارتفاعͬ است. دایره ی محیطͬ مثلث BHC را ω و مرکز آن رااست که از وسط اضلاع مثلث ABC مͬ گذرد. نقطه ی دلخواه X روی کمان BHC از ω اختیار شده است و خط AX درنقطه ی Y با Γ برخورد مͬ کند طوری که X بین A و Y است. نقطه ی P روی Γ طوری قرار دارد که Y P = PX. ثابت کنید .∠O′P X = ٩٠◦