یک سوال احتمال و هندسه

[tiberium]

2 نقطه روی محیط دایره به شعاع 1 انتخاب شده.
احتمال اینکه فاصله این 2 نقطه از رادیکال 3 بیشتر باشه چقدره؟

فقط راه حل هم بنویسید.مساله جالبیه!

 

[tiberium]

پاسخ : یک سوال احتمال و هندسه

کسی نظری نداشت؟دی

 

[dr.eniac]

پاسخ : یک سوال احتمال و هندسه

یه نقطه رو ثابت میکنیم روی محیط ، دوتا کمان هرکدوم به اندازه رادیکال سه دوطرف این نقطه وجود دارن که نمیتونیم نقطه دوم رو روی اونا انتخاب کنیم ، پس اون محیطی از دایره که فاصلش از این نقطه بزگتر از رادیکال سه باشه میشه محیط منهای دوتا رادیکال سه .

کل محیط هم که دوپی هست .

احتمالش میشه

فک کنم البته

 

[tiberium]

پاسخ : یک سوال احتمال و هندسه

یه نقطه رو ثابت میکنیم روی محیط ، دوتا کمان هرکدوم به اندازه رادیکال سه دوطرف این نقطه وجود دارن که نمیتونیم نقطه دوم رو روی اونا انتخاب کنیم ، پس اون محیطی از دایره که فاصلش از این نقطه بزگتر از رادیکال سه باشه میشه محیط منهای دوتا رادیکال سه .

کل محیط هم که دوپی هست .

احتمالش میشه

فک کنم البته

فاصله 2 تا نقطه رو خط راست بگیر...از روی محیط دایره حساب نکن....
طبق همین راهی که میگی و درست هست جواب 1/3 میشه

کسی راه دیگه ای داره؟


این یه سوال هست که یه پارادوکسه!
3 تا راه حل با 3 جواب متفاوت داره...که هر 3 راهم درستن
فک کنید ببینید راه های دیکه ای میتونید براش پیدا کنید؟

 

[tiberium]

پاسخ : یک سوال احتمال و هندسه

خب انگار کسی علاقه به حل این سوال نداره!
حداقل نسبت به جوابش فکر کنید ببینید میتونید توجیهی براش پیدا کنید یا نه
یکی از راه ها این هستش
همون طور که دوستمون گفتن یه نقطه فرض کنیم...
بعد بیایم 2 نقطه رو دایره که فاصلش از این نقطه رادیکال 3 هست رو پیدا کنیم.طبق شکل زیر

حالا هر نقطه ای روی دایره اگر انتخاب بشه و بین این 2 خط باشن فاصلشون از رادیکال 3 بیشتره!
محیطی که این قطاع داره مربوط به 120 درجه هست که به عبارتی میشه 1/3
پس به احتمال 1/3 فاصله این 2 نقطه انتخاب شده از رادیکال 3 بیشتره!


حالا راه دوم
میایم یه دایره به شعاع 1/2 و مرکز دایره اصلیمون رسم می کنیم.
طبق شکل زیر

میشه راحت محاسبه کرد که مماس های رسم شده به دایره داخلی طولشون رادیکال 3 هست.

فرض کنید یه نقطه داخل این دایره انتخاب باشه و این نقطه دقیقا وسط یکی از وتر های دایره اصلی هست.
یعنی
شکل زیر...که نقطه A دقیقا وسط وتر هست...

حالا بدیهی هست و راحت محاسبه میشه که طول وتری که رسم میشه در این حالت(یعنی نقطه ی وسط پاره خط اگر داخل دایره به شعاع 1/2 باشه) از رادیکال 3 بیشتره
و اگر نقطه ای بیرون این دایره انتخاب بشه و وتر مخصوص بهش رسم بشه طول اون وتر از رادیکال 3 کمتر هست
حالا چون هر وتر دقیقا فاصله 2 نقطه رو بهمون میده اگر احتمال انتخاب شدن نقطه درون دایره به شعاع 1/2 رو نسبت به دایره اصلیمون حساب کنیم.میشه 1/4
یعنی به احتمال 1/4 2 نقطه ای که انتخاب میشن فاصلشون از رادیکال 3 بیشتره!!

حالا یه راه دیگه داره که جوابش میشه 1/2 .

همین مساله که به پارادوکس برتراند معروفه باعث شد که علم احتمال رو دوباره از اول نوشتن تقریبا و تغییراتی توش دادن!

 

[Parham MLK]

پاسخ : یک سوال احتمال و هندسه

جالب بود؛ فقط یه قسمتش مبهمه این دومیه!
تو راه‌حل دوم شما میخواستی تعداد وترهای بزرگتر از رادیکال3 به تعداد کل وترها رو حساب کنی.
برای این کار گفتی به ازای هر وتر دقیقاً یه نقطه وسط وتره، و به ازای هر نقطه دقیقاً یه وتر داریم که اون نقطه وسطش باشه.
بعدش هم اومدی تعداد نقاط رو شمردی و ادامه‌ی ماجرا!
ولی من با این بخش مشکل دارم!
به ازای هر نقطه دقیقاً یه وتر داریم که این نقطه وسطشه؛ به جز مرکز دایره! که از اون بی‌نهایت وتر میگذره که همه هم توسط مرکز نصف میشن!
یعنی شما داری بی‌نهایت جواب رو حذف میکنی...

کجا رو دارم اشتباه میگم؟!