یک سوال خیلی سخت

[سمر]

سری زیر رو حل کنید.




n^4+...+3^4+2^4+1^4

 

[Pegi]

پاسخ : یه سوال خیلی خیلی سخت

من اینو با استفاده از این سری حل کردم :
M= n^2+...+3^2+2^2+1^2
جوابش از این فرمول بدست میاد (دلیلشو خواستی بگو تا بگم ) :
n(n+1)(2n+1)/6
اومدم واسه چند تا عدد امتحان کردم دیدم به ازای هر n ی اگه مجموع جمله های سری M رو در 3n^2 + (3n-1)/5 جواب بدست میاد...!
مثلا واسه عدد 5
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55
که اگه ضرب 55 رو در
(3×25 + (3×5-1))
ضرب بکنیم میشه 979 که همون جواب واسه عدد 5 اِ ! پس کلا جواب میشه:
M× ( (3n^2 + ( 3n-1))/5)=n(n+1)(2n+1)( 3n^2 + ( 3n-1))/30
من این فرمول رو وا3 اعداد 1 تا 6 امتحان کردم درست در اومد ... نمیدونم کلا درسته یا نه

 

[a_mat_1995]

پاسخ : یه سوال خیلی خیلی سخت

از اتحاد پاسکال و

استفاده کن

 

[8055]

پاسخ : یه سوال خیلی خیلی سخت

من اینو با استفاده از این سری حل کردم :
M= n^2+...+3^2+2^2+1^2
جوابش از این فرمول بدست میاد (دلیلشو خواستی بگو تا بگم ) :
n(n+1)(2n+1)/6
اومدم واسه چند تا عدد امتحان کردم دیدم به ازای هر n ی اگه مجموع جمله های سری M رو در 3n^2 + (3n-1)/5 جواب بدست میاد...!
مثلا واسه عدد 5
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55
که اگه ضرب 55 رو در
(3×25 + (3×5-1))
ضرب بکنیم میشه 979 که همون جواب واسه عدد 5 اِ ! پس کلا جواب میشه:
M× ( (3n^2 + ( 3n-1))/5)=n(n+1)(2n+1)( 3n^2 + ( 3n-1))/30
من این فرمول رو وا3 اعداد 1 تا 6 امتحان کردم درست در اومد ... نمیدونم کلا درسته یا نه

فرمولی که نوشتید یعنی

درسته. برای اثبات می تونیم روابط

رو جمع کنیم و از فرمول های

استفاده کنیم. البته روش های دیگه ای هم وجود داره.