جداشدن نردبان در حال سقوط از دیوار

[Admin2]

به عکس زیر توجه کنید :

در این شکل یک نردبان بدون اصحکاک در حال لغزیدن به پایینه.

به نظر شما این نردبان در حال سقوط ، از دیوار جدا میشه؟ اگر جدا میشه در چه زمانی و کجا؟

 

[ErfanDK]

پاسخ : جداشدن نردبان در حال سقوط از دیوار

بله جدا میشه.(عکس کو؟!) و این زاویه ی جدایی به زاویه ی اولیه نردبان مربوطه(فقط)

 

[Nimbus]

پاسخ : جداشدن نردبان در حال سقوط از دیوار

سوال جالبیه. اگر ممکنه یه نفر تحلیل دینامیکی رو قرار بده که جسم جدا میشه یا نه ؟ چرا ؟

 

[ErfanDK]

پاسخ : جداشدن نردبان در حال سقوط از دیوار

خوب آقای مطهری گفتن که زود جوابا رو نذارید و صبر کنید که بحث بشه.بخاطر همین فعلا جوابی نمی ذارم

 

[Nimbus]

پاسخ : جداشدن نردبان در حال سقوط از دیوار

خوب آقای مطهری گفتن که زود جوابا رو نذارید و صبر کنید که بحث بشه.بخاطر همین فعلا جوابی نمی ذارم

دیگه جوابو بذار !

 

[ErfanDK]

پاسخ : جداشدن نردبان در حال سقوط از دیوار

برای حل این سوال بهترین روش استفاده از پایستگی انرژی و همچنین بررسی حرکت مرکز جرم میله است.برای همین جهت x رو به طرف راست(نردبان می لغزه طرف راست) و جهت z رو به طرف بالا می گیریم.طول میله هم l است.پس برای مختصات داریممشتقات،سرعت و شتاب رو می دن)

[tex]x=\frac{l}{2}\text{Sin$\theta $} \to \dot{x}=\frac{l}{2}\text{Cos$\theta $} \dot{\theta } \to \ddot{x}=\frac{-l}{2}\text{Sin$\theta $} \dot{\theta }^2+\frac{l}{2}\text{Cos$\theta $} \ddot{\theta }[/tex]​

[tex]z=\frac{l}{2}\text{Cos$\theta $} \to \dot{z}=\frac{-l}{2}\text{Sin$\theta $} \dot{\theta }[/tex]​

همین طور که می بینید تنها مختصه ی لازم برای حل این سوال زاویه ی تتا است.
انرژی جنبشی و پتانسیل رو می نویسیم و اون رو برابر انرژی اولیه قرار می دیم(در زمان صفر،تتا برابر تتا صفر و تتا دات برابر صفر است):

[tex]T=\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{z}^2\right)+\frac{1}{2}I \dot{\theta }^2\overset{I=\frac{1}{2}\text{ml}^2}{=}\frac{1}{6}\text{ml}^2\dot{\theta }^2[/tex]​

[tex]U=\frac{\text{mgl}}{2}\text{Cos$\theta $}[/tex]​

و انرژی اولیه:

[tex]E_0=\frac{\text{mgl}}{2}\text{Cos$\theta $}_0[/tex]​

پس معادله ی پایستگی انرژی رو می نویسیم:

[tex]\frac{\text{mgl}}{2}\text{Cos$\theta $}_0=\frac{1}{6}\text{ml}^2\dot{\theta }^2+\frac{\text{mgl}}{2}\text{Cos$\theta $}[/tex]​

پس از حل این معادله خواهیم داشت:

[tex]\dot{\theta }^2=3\frac{g}{l}\left(\text{Cos$\theta $}_0-\text{Cos$\theta $}\right)[/tex]​

بعد از مشتق گیری خواهیم داشت:

[tex]\ddot{\theta }=3\frac{g}{2l}\text{Sin$\theta $}[/tex]​

با استفاده از این معادلات می تونیم حرکت این نردبان رو به طور کامل بررسی کنیم.پس برای پیدا کردن زاویه ی جدا شدن ابتدا نیروی عمودی دیوار عمود رو می نویسیم و با برابر صفر قرار دادن اون زاویه ی جدایی رو بدست میاریم:

[tex]N^{\text{Wall}}=m \ddot{x}=\frac{-l}{2}\text{Sin$\theta $} \dot{\theta }^2+\frac{l}{2}\text{Cos$\theta $} \ddot{\theta }[/tex]​

[tex]N^{\text{Wall}}=0\to \text{Cos$\theta $} \ddot{\theta }=\text{Sin$\theta $} \dot{\theta }^2[/tex]​

الان بعد از حل این معادلات با استفاده از معادلاتی که برای تتا دات و تتا دابل دات آوردیم می تونیم زاویه ی جدایی رو بدست بیاریم که برابره با:

[tex]\fbox{$\theta =\text{ArcCos}\left(\frac{2}{3}\text{Cos$\theta $}_0\right)$}[/tex]​

در ضمن یادم رفته بود بگم که زاویه ی تتا برابره با زاویه ی نردبان با راستای عمودی که توی شکل میشه

[tex]\theta _0=\text{ArcCos}\left(\frac{h}{l}\right)[/tex]​

 

[arashbm]

پاسخ : جداشدن نردبان در حال سقوط از دیوار

ممنون بابت جواب! خوشمان آمد!

 

[Nimbus]

پاسخ : جداشدن نردبان در حال سقوط از دیوار

این L/2 چیه ؟ یعنی تقسیم بر 2 برای چی ؟

 

[Nimbus]

پاسخ : جداشدن نردبان در حال سقوط از دیوار

حالا که فکر کردم متوجه شدم به خاط مرکز جرمه.

 

[Nimbus]

پاسخ : جداشدن نردبان در حال سقوط از دیوار

ولی باز در مورد انرژی جنبشی :

باید بنویسیم (vx+vz)^2 یا این که vx^2 + vz^2 درسته اند ؟

 

[ErfanDK]

پاسخ : جداشدن نردبان در حال سقوط از دیوار

[tex]T=\frac{1}{2}\text{mv}^2=\frac{1}{2}m\left(\overset{\rightharpoonup }{v}_x+\overset{\rightharpoonup }{v}_z\right){}^2=\frac{1}{2}m\left(v_x{}^2+v_z{}^2+2\overset{\rightharpoonup }{v}_x\cdot \overset{\rightharpoonup }{v}_z\right)=\frac{1}{2}m\left(v_x{}^2+v_z{}^2\right)[/tex]​

چون دو تا بردار سرعت بر هم عمود هستن و ضرب داخلیشون صفر میشه.