سوالات ریاضی

[Smohammadreza]

عدد a را به n قسمت مساوی تقسیم کرده و سپس این قسمت های مساوی را در هم ضرب میکنیم. به ازای چه مقدار از n، حاصل ضرب ما ماکسیمم خواهد شد؟

جعبه متن مخفی: پیشنیاز حل سوال

1. مشتق 2.لگاریتم طبیعی - البته شاید بدون ایناهم حل بشه

 

[امین]

عدد a را به n قسمت مساوی تقسیم کرده و سپس این قسمت های مساوی را در هم ضرب میکنیم. به ازای چه مقدار از n، حاصل ضرب ما ماکسیمم خواهد شد؟

جعبه متن مخفی: پیشنیاز حل سوال

1. مشتق 2.لگاریتم طبیعی - البته شاید بدون ایناهم حل بشه

امیدوارم حلم درست بوده باشه.
جواب نهایی برابر a/e اُم عه. یعنی عدد رو هرچی که باشه به a/e قسمت مساوی خورد می‌کنیم. هر قسمتِ ما هم اندازه‌ش e عه.

 

[amir_]

و در نهایت سوال سوم: ثابت کنید در هر پنج ضلعی منتظم، نسبت قطر به ضلع برابر نسبت طلایی است!

جعبه متن مخفی: .

و هم اکنون شاهد منتهی الیه پنج ضلعی منتظم هستید
در حال رایزنی هستیم که این شکل جایگزین تعریف پنج ضلعی منتظم بشه

 

[امین]

1.
2.

کسی می‌تونه مقادیر a و b و c رو حساب کنه جدا جدا؟
فکر کنم اعداد مختلط میشن چون طبق نتیجه‌ی ششم جمع سه مقدار نامنفی شده منفی یک دوازدهم.

 

[امین]

توی تمرین ریاضی یازدهم تجربی، یه سوال هست که می‌پرسه آیا مستطیلی که محیطش فلان و مساحتش فلان باشه وجود داره یا خیر (و در صورت وجود اضلاعشو پیدا کنید و ...)

خب من سوالم اینه اصلاً مگه ممکنه مستطیلی وجود نداشته باشه؟ هر محیط و مساحتی که بپرسن همیشه مستطیل وجود داره :‌))

اگه مثلاً اضلاعشو a و b فرض کنیم، محیط رو 2p و مساحت رو هم A، باید چنین معادله‌ای x2 - (a+b)x + ab = 0 جواب داشته باشه؛ یعنی a2+b2+2ab-4ab باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر بشه، که این یعنی مجذورِ تفاضلِ اضلاع مستطیل باید بزرگ‌تر مساوی صفر بشه که همیشه هست! پس مستطیلی یافت نمیشه اصلاً که محیط و مساحتش جور نباشه :‌))

همین‌طوره یا من یه جا دارم اشتباه می‌کنم؟

 

[Smohammadreza]

توی تمرین ریاضی یازدهم تجربی، یه سوال هست که می‌پرسه آیا مستطیلی که محیطش فلان و مساحتش فلان باشه وجود داره یا خیر (و در صورت وجود اضلاعشو پیدا کنید و ...)

خب من سوالم اینه اصلاً مگه ممکنه مستطیلی وجود نداشته باشه؟ هر محیط و مساحتی که بپرسن همیشه مستطیل وجود داره :‌))

اگه مثلاً اضلاعشو a و b فرض کنیم، محیط رو 2p و مساحت رو هم A، باید چنین معادله‌ای x2 - (a+b)x + ab = 0 جواب داشته باشه؛ یعنی a2+b2+2ab-4ab باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر بشه، که این یعنی مجذورِ تفاضلِ اضلاع مستطیل باید بزرگ‌تر مساوی صفر بشه که همیشه هست! پس مستطیلی یافت نمیشه اصلاً که محیط و مساحتش جور نباشه :‌))

همین‌طوره یا من یه جا دارم اشتباه می‌کنم؟

سلام
طبق این، اگه محیط و مساحتو یجوری بده که نصف محیط(X) به توان دو منهای 2تا مساحت کمتر از صفر بشه اون وقت A و B ای حقیقی وجود نخواهد داشت
البته استدلال شماهم درسته به تناقض خوردیم...

 

[امین]

سلام
طبق این، اگه محیط و مساحتو یجوری بده که نصف محیط(X) به توان دو منهای 2تا مساحت کمتر از صفر بشه اون وقت A و B ای حقیقی وجود نخواهد داشت
البته استدلال شماهم درسته به تناقض خوردیم...

خیلی درگیرشم :‌)) با اینکه ته ذهنم می‌دونم استدلالم یه ایرادی داره ولی پیداش نمی‌کنم هرچی فکر می‌کنم.
آره مثلاً مستطیلی که محیطش ۲ و مساحتش صد میلیارد باشه منطقی نیستش و وجود هم نداره، معادله‌ش هم بنویسی دلتا منفی میشه، اما چرا در حالت کلی محدودیتی حاصل نمی‌کنه؟ دنبال اون محدودیته می‌گردم.

 

[امین]

توی تمرین ریاضی یازدهم تجربی، یه سوال هست که می‌پرسه آیا مستطیلی که محیطش فلان و مساحتش فلان باشه وجود داره یا خیر (و در صورت وجود اضلاعشو پیدا کنید و ...)

خب من سوالم اینه اصلاً مگه ممکنه مستطیلی وجود نداشته باشه؟ هر محیط و مساحتی که بپرسن همیشه مستطیل وجود داره :‌))

اگه مثلاً اضلاعشو a و b فرض کنیم، محیط رو 2p و مساحت رو هم A، باید چنین معادله‌ای x2 - (a+b)x + ab = 0 جواب داشته باشه؛ یعنی a2+b2+2ab-4ab باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر بشه، که این یعنی مجذورِ تفاضلِ اضلاع مستطیل باید بزرگ‌تر مساوی صفر بشه که همیشه هست! پس مستطیلی یافت نمیشه اصلاً که محیط و مساحتش جور نباشه :‌))

همین‌طوره یا من یه جا دارم اشتباه می‌کنم؟

سلام
طبق این، اگه محیط و مساحتو یجوری بده که نصف محیط(X) به توان دو منهای 2تا مساحت کمتر از صفر بشه اون وقت A و B ای حقیقی وجود نخواهد داشت
البته استدلال شماهم درسته به تناقض خوردیم...

بعد از کلی فکر کردن بالأخره فهمیدم ایرادم کجاست!

نکته‌ی اول اینه که من در همون ابتدا فرض کردم اصلاً چنین مستطیلی وجود خارجی داره و یک a و b ای داره؛ در حالی که در حالتی که معادله بی‌جواب می‌مونه کلاً ریشه‌ی حقیقی براش تعریف‌نشده‌ست.

ثانیاً شما مستطیلی درنظر بگیرید که محیطش بشه ۶ و مساحتش بشه منفی ده! می‌دونیم که چنین چیزی در دستگاه اعداد طبیعی شدنی نیست، اما دلتای معادله‌ی x2-3x-10=0 مثبته و ریشه‌هاش هم ۵ و ۲- هستن! پس این که به دلتا تکیه کنیم لزوماً راه صحیحی برای نتیجه‌گیری نیست و همین روشی که مجذور نصف محیط باید حتماً از ۲ برابر مساحت بزرگ‌تر باشه درسته. اگرچه تو مثالِ خودم هم مجذور نصف محیط میشه ۹ و از ۲۰- بزرگ‌تره، ولی خب :‌)) دیگه وارد بحثش نشیم :‌))

 

[Smohammadreza]

بعد از کلی فکر کردن بالأخره فهمیدم ایرادم کجاست!

نکته‌ی اول اینه که من در همون ابتدا فرض کردم اصلاً چنین مستطیلی وجود خارجی داره و یک a و b ای داره؛ در حالی که در حالتی که معادله بی‌جواب می‌مونه کلاً ریشه‌ی حقیقی براش تعریف‌نشده‌ست.

ثانیاً شما مستطیلی درنظر بگیرید که محیطش بشه ۶ و مساحتش بشه منفی ده! می‌دونیم که چنین چیزی در دستگاه اعداد طبیعی شدنی نیست، اما دلتای معادله‌ی x2-3x-10=0 مثبته و ریشه‌هاش هم ۵ و ۲- هستن! پس این که به دلتا تکیه کنیم لزوماً راه صحیحی برای نتیجه‌گیری نیست و همین روشی که مجذور نصف محیط باید حتماً از ۲ برابر مساحت بزرگ‌تر باشه درسته. اگرچه تو مثالِ خودم هم مجذور نصف محیط میشه ۹ و از ۲۰- بزرگ‌تره، ولی خب :‌)) دیگه وارد بحثش نشیم :‌))

منم کمی فکر کردم به چیز جالبی رسیدم
اینکه ممکنه اون شرط x^2-2y>0 برقرار باشه، ولی a وb ما میتونن عدد مختلط باشن یعنی مستطیل وجود نداره :/ تو این حالت البته

 

[Smohammadreza]

سلام
بریم برای یه چالش دیگه!
دو تا تابع داریم: e^x و x^(10000000000000000)
و شما جای ایکس میتونید هر عددی بزارید(اعداد حقیقی البته)
حالا وقتی شما تک تک اعدادو به ترتیب به تابع ها میدید ، کدوم تابع کم کم اعداد بزرگتری نسبت به اون یکی میدن؟؟؟

 

[7T]

سلام
بریم برای یه چالش دیگه!
دو تا تابع داریم: e^x و x^(10000000000000000)
و شما جای ایکس میتونید هر عددی بزارید(اعداد حقیقی البته)
حالا وقتی شما تک تک اعدادو به ترتیب به تابع ها میدید ، کدوم تابع کم کم اعداد بزرگتری نسبت به اون یکی میدن؟؟؟

e^x

 

[Smohammadreza]

e^x

استاد شما که برنز ریاضی دارید نگید لطفا بزارید برای ما جوجه نوب ها چالش باشه

 

[7T]

استاد شما که برنز ریاضی دارید نگید لطفا بزارید برای ما جوجه نوب ها چالش باشه

استاد کیلو چنده بابا منم شانسی گفتم اخه اون یکی عددش خیلی گنده بود حدس زدم که واسه گول زدنه این یکیو انتخاب کردم XD

 

[امین]

ممکنه روش استدلالم نادرست باشه (که نیست به نظرم) :

من ابتدا دو تابع فرض می‌کنم:
ایکس به نمای عدد ثابت a و ای به نمای ایکس.
می‌خوام بررسی کنم به ازای ایکس‌های بسیار بزرگ، چه رابطه‌ای بین این دو برقراره.

این‌جا روش کارم رو نوشتم.
دو عبارت رو کنار همدیگه قرار دادم و طرفین رو به توان یک ایکسُم (که ایکس مخالف صفره) رسوندم. طرف چپم شد e و طرف راستم ایکس به نمای a/x باقی موند.

به بررسی تابع ایکس به نمای a/x پرداختم:
مشتقش در e صفره و در این نقطه ماکزیمم مطلق داره؛
حدش هم در بی‌نهایت مساوی ۱ عه.
یعنی در بی‌نهایت، عدد e سرجاش هست و تغییر نمی‌کنه اما طرف راست داره به یک می‌رسه.

می‌تونم این‌طور ادعا کنم که ابتدا ممکنه x^a بزرگ‌تر از e^x باشه، ولی بالاخره در نهایت ازش عقب میفته.

حالا اگر همین مسیر رو برگردیم و طرفین رو به نمای ایکس برسونیم می‌تونیم بگیم در بی‌نهایت y2 از y1 بزرگ‌تر خواهد شد.

+ طبق نمودار، می‌بینیم به ازای a=1 همیشه مقدار f از e کمتره و بنابراین x به توان ۱ همیشه از e^x کوچیک‌تره (که هست اگر نموداراشونو تصور کنین!) و این یعنی اصلاً واسه اینکه x^a در جایی از e^x قادر باشه سبقت بگیره لازم و ضروریه a بیشتر از e باشه که در صورت سوال هم همین‌طور بود.

 

[Smohammadreza]

ممکنه روش استدلالم نادرست باشه (که نیست به نظرم) :

من ابتدا دو تابع فرض می‌کنم:
ایکس به نمای عدد ثابت a و ای به نمای ایکس.
می‌خوام بررسی کنم به ازای ایکس‌های بسیار بزرگ، چه رابطه‌ای بین این دو برقراره.

این‌جا روش کارم رو نوشتم.
دو عبارت رو کنار همدیگه قرار دادم و طرفین رو به توان یک ایکسُم (که ایکس مخالف صفره) رسوندم. طرف چپم شد e و طرف راستم ایکس به نمای a/x باقی موند.

به بررسی تابع ایکس به نمای a/x پرداختم:
مشتقش در e صفره و در این نقطه ماکزیمم مطلق داره؛
حدش هم در بی‌نهایت مساوی ۱ عه.
یعنی در بی‌نهایت، عدد e سرجاش هست و تغییر نمی‌کنه اما طرف راست داره به یک می‌رسه.

می‌تونم این‌طور ادعا کنم که ابتدا ممکنه x^a بزرگ‌تر از e^x باشه، ولی بالاخره در نهایت ازش عقب میفته.

حالا اگر همین مسیر رو برگردیم و طرفین رو به نمای ایکس برسونیم می‌تونیم بگیم در بی‌نهایت y2 از y1 بزرگ‌تر خواهد شد.

+ طبق نمودار، می‌بینیم به ازای a=1 همیشه مقدار f از e کمتره و بنابراین x به توان ۱ همیشه از e^x کوچیک‌تره (که هست اگر نموداراشونو تصور کنین!) و این یعنی اصلاً واسه اینکه x^a در جایی از e^x قادر باشه سبقت بگیره لازم و ضروریه a بیشتر از e باشه که در صورت سوال هم همین‌طور بود.

خب شما باید لیمیت ایکس به توان آ بر روی ای به توان ایکس (ایکس به سمت بینهایت) رو حساب کنید. که اگر از قاعده هوپیتال استفاده کنید چندبار متوجه میشید که این حد برابر صفره! یعنی رشد این تابع نمایی از هر چند جمله ای بیشتره و مهم هم نیست که آ چقدر باشه.

 

[امین]

خب شما باید لیمیت ایکس به توان آ بر روی ای به توان ایکس (ایکس به سمت بینهایت) رو حساب کنید. که اگر از قاعده هوپیتال استفاده کنید چندبار متوجه میشید که این حد برابر صفره! یعنی رشد این تابع نمایی از هر چند جمله ای بیشتره و مهم هم نیست که آ چقدر باشه.

این روش هم درسته.

 

[Smohammadreza]

سلام. ایا این حرفم درسته؟
اگه بی نهایت بار از ایکس اف بگیریم(اف یه تابع هست) حاصل میشه یک ایکس صفری که برای اون ایکس صفر داریم افِ ایکس صفر برابر خود ایکس صفره

 

[Smohammadreza]

سلام. ایا این حرفم درسته؟
اگه بی نهایت بار از ایکس اف بگیریم(اف یه تابع هست) حاصل میشه یک ایکس صفری که برای اون ایکس صفر داریم افِ ایکس صفر برابر خود ایکس صفره

البته خب قطعا بعضی توابع از این پیرویی نمیکنن.
سوال جدید اینه که کدوم توابع از این پیروی میکنن؟

 

[امین]

البته خب قطعا بعضی توابع از این پیرویی نمیکنن.
سوال جدید اینه که کدوم توابع از این پیروی میکنن؟

سوالو درست متوجه نشدم.

مثلاً تابع درجه ۲ رو درنظر بگیریم، بی‌نهایت بار در خودش قرار بدیم میشه ایکس به توانِ (۲ به نمای n) که اگه n بره به بی‌نهایت، حاصل کلاً میشه ایکس به توان بی‌نهایت. ایکس صفر یا عدد ثابتی درنمیاد ازش. و بدیهی هم هست اگه دوباره ازش اف بگیریم به همون ایکس به توان بی‌نهایت می‌رسیم.

یا تابع هموگرافیک یک ایکسُم اگر در خودش قرار بگیره، یک در میون ایکس و یک ایکسُم میشه که در نهایت فرم کلیش در بی‌نهایت میشه یک ایکسُم به توانِ (منفی یک به توان n+1) که اینم فکر کنم چون متناوبه در بی‌نهایت حد نداره.

ولی مثلاً توابع ثابت یا همانی بی‌شمار بار هم در خودشون قرار بگیرن تغییری نمی‌کنن.

 

[Smohammadreza]

سوالو درست متوجه نشدم.

مثلاً تابع درجه ۲ رو درنظر بگیریم، بی‌نهایت بار در خودش قرار بدیم میشه ایکس به توانِ (۲ به نمای n) که اگه n بره به بی‌نهایت، حاصل کلاً میشه ایکس به توان بی‌نهایت. ایکس صفر یا عدد ثابتی درنمیاد ازش. و بدیهی هم هست اگه دوباره ازش اف بگیریم به همون ایکس به توان بی‌نهایت می‌رسیم.

یا تابع هموگرافیک یک ایکسُم اگر در خودش قرار بگیره، یک در میون ایکس و یک ایکسُم میشه که در نهایت فرم کلیش در بی‌نهایت میشه یک ایکسُم به توانِ (منفی یک به توان n+1) که اینم فکر کنم چون متناوبه در بی‌نهایت حد نداره.

ولی مثلاً توابع ثابت یا همانی بی‌شمار بار هم در خودشون قرار بگیرن تغییری نمی‌کنن.

اره خب این توابعی که گفتید حدی ندارن
ولی مثلا تابعی مثل 4X/1+(X/M) یه حدی داره