• اگر سمپادی هستی همین الان عضو شو :
    ثبت نام عضویت

سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

  • شروع کننده موضوع کاربر حذف شده 8031
  • تاریخ شروع
  • شروع کننده موضوع
  • #1

کاربر حذف شده 8031

مهمان
تو این تاپیک قراره که سوالای ترکیبیات در سطح مرحله دوّم بررسی بشن.لزومی نداره که حتماً برای مرحله دوّم های قبل باشن. منظور سطح سوالا هست . پس اگه یه وخ احساس کردید که سوال هندسه ای تقریبا مرحله اوّلی دارید نباید اینجا مطرح بشه باید تو تاپیک های دیگه مطرح بشن.
ضمناًقابل توجه هست که باید از این بعد تو این سری تاپیک های جدید بغل هر سوالی که مطرح میکنید شماره ی مربوط به اون رو بنویسید تا دیگه سوالا گم نشن و...![nb]یعنی اولین سوال این تاپیک شمارش میشه یک و به همون طور بقیه سوالا.[/nb]
پس از این به بعد سر هر سوالی که بحث میشه لطف کنید که شماره ی سوال مورد نظرتون رو هم ذکر کنید.
 

shadow shaman

کاربر فعال
ارسال‌ها
52
امتیاز
113
نام مرکز سمپاد
helli1
شهر
تهران
سال فارغ التحصیلی
93
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

1)برای اعداد حقیقی و مثبت a,b,c میدانیم abc=1 نشان دهید :
gif.latex
 

garamaleki

کاربر نیمه‌فعال
ارسال‌ها
15
امتیاز
15
نام مرکز سمپاد
علامه جعفری
شهر
تبریز
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

جواب سوال شماره 1)
طبق نامساوی کوشی داریم
gif.latex


gif.latex


با توجه به اینکه abc=1

gif.latex


gif.latex
 
  • شروع کننده موضوع
  • #4

کاربر حذف شده 8031

مهمان
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

2-
اگر داشته باشیم :
gif.latex

ثابت کنید :
gif.latex
 
  • شروع کننده موضوع
  • #5

کاربر حذف شده 8031

مهمان
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

راهنمایی سوال 2 :

سعی کنید با جایگذاری عدد هایی مثل 1 و 2 سوال را حل کنید .
 

mohadeseh

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
116
امتیاز
573
نام مرکز سمپاد
فرزانگان یک
شهر
کرمان
سال فارغ التحصیلی
94
دانشگاه
شریف
رشته دانشگاه
هوافضا
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

gif.latex


gif.latex

f(-8)=0
 

Roomina.z

کاربر فعال
ارسال‌ها
27
امتیاز
28
نام مرکز سمپاد
فرزانگان 1 شیراز
شهر
شیراز
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

f(x)=x^3+9.x^2+7x+8
 

N_MATHS

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
94
امتیاز
350
نام مرکز سمپاد
فرزانگان حضرت زینب (س) ری
شهر
تهران
سال فارغ التحصیلی
95
مدال المپیاد
فقط مرحله 1 ریاضی...المپیاد هندسه شریف
دانشگاه
علم و صنعت
رشته دانشگاه
مهندسی ماشین های ریلی:)
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

فرض کنید
gif.latex
عضو مجموعه اعداد حقیقی مثبت باشند.با این فرض که
gif.latex
ثابت کنید که:
gif.latex
 

y.a

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
119
امتیاز
306
نام مرکز سمپاد
فرزانگان3/ فرزانگان۱
شهر
تهران
مدال المپیاد
طلای ریاضی سال ۹۲
دانشگاه
صنعتی شریف
رشته دانشگاه
مهندسی کامپیوتر - نرم افزار
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

اول حسابي-هندسي سه تايي بزنيد. مساله معادل ميشه با:
gif.latex

حالا از اين حسابي هندسي ها استفاده كنيد:
gif.latex

gif.latex
 

moreda

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
128
امتیاز
437
نام مرکز سمپاد
علامه حلی
شهر
تهران
مدال المپیاد
ریاضی
دانشگاه
شریف
رشته دانشگاه
کامپیوتر نرم افزار
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

5) تمام توابع پیوسته f:R->R را بیابید که:
f(1-f(x))=1-x

شاید در حد 3و6 ولی مرحله 2 ای یه یعنی همه میتونن حل کنن
 

Ali Monsefi

کاربر فعال
ارسال‌ها
73
امتیاز
111
نام مرکز سمپاد
وات؟
شهر
تهران
مدال المپیاد
مدال نقره‌ی المپیاد ریاضی کشوری ۹۲
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

به نقل از moreda :
5) تمام توابع پیوسته f:R->R را بیابید که:
f(1-f(x))=1-x

شاید در حد 3و6 ولی مرحله 2 ای یه یعنی همه میتونن حل کنن

مخالفم دانش! اگر قضیه ی مقدار میانی توی کتاب حسابان سوم می بود -که تا من به یاد می آرم نبود- این سؤال در حد یک و چهار مرحله دو می شد و وقتی نیست که دیگه هیچ چی.
حتی اگر قضیه ی مقدار میانی توی کتاب درسی باشه، این مسئله یه مسئله ی نسبتاً ساده ی درسیه و اصلاً مرحله دویی نیست.
 

moreda

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
128
امتیاز
437
نام مرکز سمپاد
علامه حلی
شهر
تهران
مدال المپیاد
ریاضی
دانشگاه
شریف
رشته دانشگاه
کامپیوتر نرم افزار
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

به نقل از M. Honari :
مخالفم دانش! اگر قضیه ی مقدار میانی توی کتاب حسابان سوم می بود -که تا من به یاد می آرم نبود- این سؤال در حد یک و چهار مرحله دو می شد و وقتی نیست که دیگه هیچ چی.
حتی اگر قضیه ی مقدار میانی توی کتاب درسی باشه، این مسئله یه مسئله ی نسبتاً ساده ی درسیه و اصلاً مرحله دویی نیست.
مهم نیست که تو کتاب درسی نیست(می توان قبل از شروع سوال کمی داستان گفت.)
نکته این است که هر کس در اولین مواجه با سوال به هیچ وجه نمی تواند حدس بزند که با کار هایی ساده حل می شود و ایده های پیچیده می زند و حدس های اشتباه و کسی می تواند حل کند که کمی با ریاضی عادی رفیق شده باشد.
همان طور که تا به حال ندیدم کسی سریع حل کند و اکثرا هم حل نکردن چه یرسه به سریع.
سوال مرحله دویی؟؟!!مگه سوال سخت و عجیب هم دارد همه سوالات با ایده هایی تکراری حل می شود.

به یاد داری سوال تالارمرگ را.فک نکنم به استدلال شما این سوال سخت باشد اما از آنجایی که بعضی وقت ها کار های ساده یادمان میرود نمیتوان حلش کرد(یا از یه راه با 10-12 صفحه حل میشه :D)

حالا سواله بهتر سراغ داری راه حل این به علاوه سوال جدیدو بزار.
 

Ali Monsefi

کاربر فعال
ارسال‌ها
73
امتیاز
111
نام مرکز سمپاد
وات؟
شهر
تهران
مدال المپیاد
مدال نقره‌ی المپیاد ریاضی کشوری ۹۲
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

شاید هم قضیه چیز دیگه ایه: به احتمال زیاد صورت سؤالی که نوشتی ناقصه. نیست؟
 

moreda

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
128
امتیاز
437
نام مرکز سمپاد
علامه حلی
شهر
تهران
مدال المپیاد
ریاضی
دانشگاه
شریف
رشته دانشگاه
کامپیوتر نرم افزار
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

به نقل از moreda :
5) تمام توابع پیوسته f:R->R را بیابید که:
f(1-f(x))=1-x

شاید در حد 3و6 ولی مرحله 2 ای یه یعنی همه میتونن حل کنن
1-خوب اثبات کنید 1-1 است و پوشا.
2-اثبات کنید هر تابع 1-1 ، پوشا و پیوسته اکیدا یکنوا است.
3-حال داریم:a,b)Ef -> (1-b,1-a)Ef) پس نسبت به 1/2و1/2 تابع قرینس.
4-حال ثابت کنید چون پیوسته است و(3) پس f(1/2)=1/2
5-تمام.هر تابع دلخواه در بازه 1/2و+بینهایت که (4) و اکیدا یکنوا را بگیرید نسبت به 1/2و1/2 قرینه کنید می شود جواب

کارهایی که نباید می کردید:اگه دنبال حدسیات میرفتید نمی تونستید حل کنید چون میخواستید x,1-x را به عنوان جواب بگویید که تنها جواب ها نیستند
 

Ali Monsefi

کاربر فعال
ارسال‌ها
73
امتیاز
111
نام مرکز سمپاد
وات؟
شهر
تهران
مدال المپیاد
مدال نقره‌ی المپیاد ریاضی کشوری ۹۲
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

به نقل از moreda :
1-خوب اثبات کنید 1-1 است و پوشا.
2-اثبات کنید هر تابع 1-1 ، پوشا و پیوسته اکیدا یکنوا است.
3-حال داریم:a,b)Ef -> (1-b,1-a)Ef) پس نسبت به 1/2و1/2 تابع قرینس.
4-حال ثابت کنید چون پیوسته است و(3) پس f(1/2)=1/2
5-تمام.هر تابع دلخواه در بازه 1/2و+بینهایت که (4) و اکیدا یکنوا را بگیرید نسبت به 1/2و1/2 قرینه کنید می شود جواب

کارهایی که نباید می کردید:اگه دنبال حدسیات میرفتید نمی تونستید حل کنید چون میخواستید x,1-x را به عنوان جواب بگویید که تنها جواب ها نیستند

پس مسأله همین بود. چون ناراضیم از حلت، یه بیان دیگه!:
تعریف می کنیم
gif.latex
. می دونیم که این تابع هم پیوسته است و به دست می آد
gif.latex
. (به ازای هر جواب مسئله یک چنین جی ای به دست می آد و برعکس.) چنین تابعی چیز جالبیه! یعنی تابع پیوسته ای که وارون خودشه. (حالا اگر مسأله مثلاً شرط اکیداً نزولی بودن اف رو داشت، (یا حتی بزرگ تر بودن مثلاً افِ صفر از افٍ یک) جی باید اکیداً صعودی می بود و آسون می شد دید که فقط تابع همانی این ویژگی رو داره. تو کتاب برگزیده مسائل جبر و آنالیز آقای حمیدی تو بخش توابع چهار-پنج تا مسأله با همین ایده ها داره.)
چنین توابعی بی شمار (و ناشمارا!)ن و ویژگی مشترکی که دارن اینه که نمودارشون نسبت به نیمساز ربع اول و سوم متقارنه و به جز تابع همانی باقی اکیداً نزولیند.

حالا نکته ای که وجود داره اینه که نه من و نه دانشور، مسأله رو حل نکردیم. یعنی مسأله گفته تمام توابع پیوسته ی چنان رو بیابید، بعد ما جواب دادیم تمام توابع پیوسته ی چنین. الآن معتقدم سؤال مرحله دویی که هیچ، المپیادی هم نیست.

ویرایش 1: حلت معیوبه. هر تابع
gif.latex
جواب مسأله ست.
ویرایش 2: اون نقطه قرینه ی این نقطه نسبت به نقطه ی یک دوم و یک دوم نیست.
 

moreda

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
128
امتیاز
437
نام مرکز سمپاد
علامه حلی
شهر
تهران
مدال المپیاد
ریاضی
دانشگاه
شریف
رشته دانشگاه
کامپیوتر نرم افزار
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

قرینه منظورم این نگاشت بود ((x,y)-m,n->(m-(y-m),n-(x-n) نه این ((x,y)-m,n->(m-(x-m),n-(y-n)


تابع به دست آمده از 5 را روی(1-x)- جابجا کنید
در واقع قسمت 3 قبلی دچار مشکل بود اینگونه می شود
3-وجود دارد f(1/2-p)=1/2+p
حال اکیدا نزولی اگه a+b=/=1 که f(a)=b که اصلا تابع نمی شود پس (1-x)- تنها اکیدا نزولی است و هر تابع از اکیدا صعودی از 1/2+pو(1/2-p)-
را در نظر بگیرید قرینه کنید.

در واقع تعریف قرینه را قاطی کرده بودم

به جای این بحث احمقانه سوال بزار.
جون به نتیجه نمیرسیم
تعریف سوال المپیادی چیه؟می دونی که به توافق نمی رسیم و اینجا محل بحث سر تعریف نیست بجاش سوال بزار.
 

Fliqpy

کاربر نیمه‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
181
امتیاز
302
نام مرکز سمپاد
غیر انتفاعی علامه حلی 3
شهر
تهران
مدال المپیاد
هر جوری حساب میکنم افتخار نمیکنم بهش
دانشگاه
شريف
رشته دانشگاه
نرم افزار
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

یه سوال میخواستم بذارم
ABC مثلثی حاده الزاویه است.
ثابت کنید
cos (A-B)cos(B-C)cos(C-A))>=8cosAcosBcosC
ببخشید تایپ ریاضی بلد نیستم
سوال بدی نیست
ساده است
 

javadss

کاربر فعال
ارسال‌ها
50
امتیاز
20
نام مرکز سمپاد
علامه
شهر
تهران
پاسخ : سوالات جبر هم سطح مرحله دوّم

امروز یه سوال دیدم جالبه دلتون خواست حل کنید:
همه ی توابع حقیقی f را بیابید
f(xy+f(x)) = xf(y) + f(x)
 

Yeganeh138

کاربر فعال
ارسال‌ها
22
امتیاز
224
نام مرکز سمپاد
فرزانگان
شهر
فسا
سال فارغ التحصیلی
1401
سلام میشه یه نفر بهم بگه که ev,sos,smv,abc,uvw,umv,igi,gmv, در حل نا مساوی هاچی هستند؟
 
بالا